برای حل معادله \((x^2 - 1)^2 = 6\)، باید ابتدا معادله را به تبدیل کسری حل کنیم:
فرض کنید \(y = x^2 - 1\)، بنابراین معادله به صورت زیر تبدیل میشود:
\[ y^2 = 6 \]
حال دو مقدار برای \(y\) داریم:
\[ y = \sqrt{6} \quad \text{یا} \quad y = -\sqrt{6} \]
حالا باید مقدار \(y\) را به \(x\) برگردانیم:
1. **برای \(y = \sqrt{6}\):**
\( x^2 - 1 = \sqrt{6} \rightarrow x^2 = \sqrt{6} + 1 \)
بنابراین:
\[ x = \pm \sqrt{\sqrt{6} + 1} \]
2. **برای \(y = -\sqrt{6}\):**
\( x^2 - 1 = -\sqrt{6} \rightarrow x^2 = -\sqrt{6} + 1 \)
این معادله در مجموعه اعداد حقیقی راه حلی ندارد زیرا \(-\sqrt{6} + 1\) منفی است و مجذور هیچ عدد حقیقی را نمیتوان یک عدد منفی بدست آورد.
بنابراین، معادله \((x^2 - 1)^2 = 6\) در مجموعه اعداد حقیقی دو پاسخ دارد که به صورت زیر هستند:
\[ x = \pm \sqrt{\sqrt{6} + 1} \]
پس تعداد جوابهای حقیقی این معادله دو تا است.
