برای حل این مسئله، باید از فرمول فاصله بین دو خط موازی استفاده کنیم. اگر دو خط به صورت \( ax + by = c_1 \) و \( ax + by = c_2 \) باشند، فاصله بین آنها برابر است با:
\[
d = \frac{|c_2 - c_1|}{\sqrt{a^2 + b^2}}
\]
در این مسئله، دو خط به صورت \( 2x - ay = 1 \) و \( 10.7 - 4x = \sqrt{299} \) داده شدهاند. خط دوم را به فرم عمومی تبدیل میکنیم:
\[
4x = 10.7 - \sqrt{299} \quad \rightarrow \quad 4x - 10.7 = -\sqrt{299}
\]
حالا اگر فرض کنیم که خط اول و دوم به فرم \( ax + by = c_2 \) و \( ax + by = c_1 \) هستند، فاصله بین این دو خط با توجه به سوال برابر \( b \) داده شده است.
بنابراین با استفاده از فرمول فاصله داریم:
\[
b = \frac{|-10.7 - (-1)|}{\sqrt{2^2 + (-a)^2}}
\]
حل معادله بالا برای یافتن مقدار \( b \):
\[
b = \frac{|-10.7 + 1|}{\sqrt{4 + a^2}} = \frac{9.7}{\sqrt{4 + a^2}}
\]
با توجه به مقدار \( b \) و \(\sqrt{299}\) مقدار \( a^2 \) را محاسبه میکنیم:
\[
299 = 4 + a^2 \quad \rightarrow \quad a^2 = 295
\]
بنابراین، \( a = \sqrt{295} \) و چون سوال مقدار مثبت \( 2b \) را میخواهد:
\[
b = \sqrt{299} = \sqrt{295 + 4} = \sqrt{299} = 2b
\]
مقدار مثبت \( 2b \) میشود:
\[
2b = \sqrt{299}
\]
پس مقدار صحیح که نزدیکترین عدد به پاسخ انتخابی باشد، در گزینهها بررسی میشود. پاسخ صحیح بر اساس گزینهها میشود نزدیکترین عدد که برابر است با \( 21 \).
