برای اینکه تابع \( f(x) \) در نقطه \( x = 2 \) پیوسته باشد، باید شرایط زیر برقرار باشد:
1. مقدار تابع در \( x = 2 \) برابر با مقدار حد چپ باشد.
2. مقدار تابع در \( x = 2 \) برابر با مقدار حد راست باشد.
بر اساس تعریف داده شده داریم:
\[
f(2) = 7
\]
برای محاسبه حد چپ در \( x = 2 \):
\[
\lim_{{x \to 2^-}} f(x) = \lim_{{x \to 2^-}} \left(\frac{b}{x-1} - 1\right) = \frac{b}{2-1} - 1 = b - 1
\]
برای پیوستگی باید داشته باشیم:
\[
b - 1 = 7 \implies b = 8
\]
برای محاسبه حد راست در \( x = 2 \):
\[
\lim_{{x \to 2^+}} f(x) = \lim_{{x \to 2^+}} (3 + ax^2) = 3 + a(2)^2 = 3 + 4a
\]
برای پیوستگی باید داشته باشیم:
\[
3 + 4a = 7 \implies 4a = 4 \implies a = 1
\]
پس \( a = 1 \) و \( b = 8 \) مقادیر مناسب هستند.
