دستگاه مقابل در اعداد حقیقی چند دسته جواب دارد؟ راهنمایی: با استفاده از تقارن سازی

برای حل دستگاه معادلات داده شده، داریم: 1. \( x - 1 = yz \) 2. \( y - 1 = zx \) 3. \( z - 1 = xy \) برای حل این دستگاه، فرض کنیم \( x = y = z \). در این حالت، هر معادله به صورت زیر ساده می‌شود: \( x - 1 = x^2 \) با حل این معادله، داریم: \( x^2 - x + 1 = 0 \) این معادله درجه دوم را حل می‌کنیم: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) اینجا \( a = 1 \)، \( b = -1 \)، \( c = 1 \) داریم، در نتیجه: مقدار دترمینان \(\Delta\) برابر است با: \( \Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3 \) چون مقدار دترمینان منفی است، معادله در اعداد حقیقی ریشه‌ای ندارد. بنابراین، یا باید راه حل دیگری جستجو کنیم یا دسته جواب‌های دیگری نیز ممکن است وجود داشته باشد. روش دیگر: برای بررسی تقارن و شرایط خاص دیگر: فرض کنیم یکی از متغیرها برابر یک باشد. مثلاً \( x = 1 \). سپس داریم: 1. \( 0 = yz \) 2. \( y - 1 = z \) 3. \( z - 1 = y \) از معادلات دو و سه، \( z = y - 1 \) و \( y = z + 1 \). جایگزین کردن این در \( z = y - 1 \) معادله سوم: \( z = (z + 1) - 1 = z \) بنابراین این دستگاه تنها زمانی معتبر است که \( x = y = z = 1 \). در نتیجه، دستگاه در اعداد حقیقی تنها یک دسته جواب دارد که آن هم \( x = y = z = 1 \) است.