برای اثبات این مسئله، فرض میکنیم که دو وتر \(AB\) و \(CD\) در دایرهای با مرکز \(O\) هستند و دارای طول برابر \(l\) میباشند. هدف ما این است که نشان دهیم فاصله هر کدام از این وترها از مرکز دایره برابر است.
1. **نقطه میانی وترها**: نخست، نقاط میانی وترها را مشخص میکنیم. نقاط میانی وتر \(AB\) را با \(M\) و نقاط میانی وتر \(CD\) را با \(N\) نشان میدهیم.
2. **نقاط عمودی**: از مرکز دایره \(O\) به وترها عمودهایی را رسم میکنیم. به عنوان مثال، خط عمود \(OM\) بر وتر \(AB\) و خط عمود \(ON\) بر وتر \(CD\) را در نظر میگیریم.
3. **مساحت مثلثها**: با توجه به این که وترها برابرند و به مرکز دایره عمود کردهایم، مثلثهای \(OAM\) و \(OCN\) هر دو به نوعی یکساناند. در واقع، هر دو مثلث عمود بر وترهای خود هستند و ارتفاع آنها از مرکز دایره یکسان است.
4. **استفاده از تساوی طول وترها**: چون طول وترها برابر است، بنابراین میتوانیم بگوییم که \(AM = CN\) و چون داریم \(OM\) عمود بر \(AB\) و \(ON\) عمود بر \(CD\)، میتوانیم از تساوی مساحتهای مربوطه استفاده کنیم.
5. **کاربرد قاعده فیثاغورث**: در مثلثهای \(OAM\) و \(OCN\) با استفاده از قاعده فیثاغورث میتوانیم بنویسیم:
\[
OA^2 = OM^2 + AM^2
\]
و
\[
OC^2 = ON^2 + CN^2
\]
با توجه به این که \(OA = OC\) و \(AM = CN\)، در نتیجه به این نتیجه خواهیم رسید که:
\[
OM^2 + AM^2 = ON^2 + CN^2
\]
به همین دلیل، هر دو فاصله \(OM\) و \(ON\) برابرند.
**نتیجهگیری**: بنابراین، اگر دو وتر مساوی در یک دایره وجود داشته باشند، فاصله هر کدام از آنها از مرکز دایره برابر خواهد بود.
