برای حل مسئله:
1. عبارت وسط:
\[
\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} \times \ldots \times \frac{1}{100}
\]
- هر کسر از یک تا ۱۰۰ وجود دارد، پس ضریب تمام آنها برابر ۱ است.
- نتیجه حاصل ضرب صفر است چون با هر عددی که صفر ضرب شود، نتیجه صفر خواهد بود.
2. عبارت پایین:
\[
\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots + \frac{1}{1024}
\]
- این یک سری هندسی است که اولین جمله آن \(\frac{1}{2}\) و قدر نسبت آن \(\frac{1}{2}\) می‌باشد.
- مجموع سری همگرا است و با فرمول مجموع سری هندسی همگرا محاسبه می‌شود:
\[
S = \frac{a}{1 - r}
\]
برای این سری:
\[
S = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 1
\]
بنابراین، جواب نهایی:
- عبارت اول: 0
- عبارت دوم: 1
