برای حل عبارت داده شده، ابتدا آن را بررسی میکنیم:
عبارت:
\[
\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} + \sqrt{3 + 2\sqrt{2}} - \sqrt{5 + 2\sqrt{6}}
\]
1. برای ساده کردن \(\sqrt{5 - 2\sqrt{6}}\) و \(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}\)، میتوانیم از فرم \(\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}} = \sqrt{x} \pm \sqrt{y}\) استفاده کنیم.
- برای \(\sqrt{5 - 2\sqrt{6}}\):
\[
5 - 2\sqrt{6} = (\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 = x + y - 2\sqrt{xy}
\]
پس:
\[
x + y = 5 \quad \text{و} \quad 2\sqrt{xy} = 2\sqrt{6}
\]
بنابراین:
\[
\sqrt{xy} = \sqrt{6} \Rightarrow xy = 6
\]
حل این معادلات به ما میدهد:
\[
x = 3, \quad y = 2 \quad (\text{یا برعکس})
\]
پس:
\[
\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}
\]
- برای \(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}\) مشابه عمل میکنیم:
\[
\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{3} + \sqrt{2}
\]
2. برای \(\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}\):
\[
3 + 2\sqrt{2} = (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 = x + y + 2\sqrt{xy}
\]
بنابراین:
\[
x + y = 3 \quad \text{و} \quad \sqrt{xy} = \sqrt{2} \Rightarrow xy = 2
\]
حل این معادلات به ما میدهد:
\[
x = 2, \quad y = 1 \quad (\text{یا برعکس})
\]
پس:
\[
\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{2} + \sqrt{1} = \sqrt{2} + 1
\]
حالا دارم:
\[
(\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{2} + 1) - (\sqrt{3} + \sqrt{2})
\]
این عبارت را سادهسازی میکنیم:
\[
= \sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1 - \sqrt{3} - \sqrt{2}
= 1 - \sqrt{2}
\]
بنابراین نتیجه نهایی:
\[
1 - \sqrt{2}
\]
