برای ثابت کردن تساوی \((a+b)^3 - (a-b)^3 = 4ab\)، میتوانیم از اتحاد مکعب استفاده کنیم:
اتحاد مکعب دو جمله به صورت زیر است:
\[
(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
\]
\[
(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
\]
حال تفاوت این دو مکعب را محاسبه میکنیم:
\[
(a+b)^3 - (a-b)^3 = (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) - (a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3)
\]
اگر پرانتزها را باز و علائم را رعایت کنیم، داریم:
\[
(a+b)^3 - (a-b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 - a^3 + 3a^2b - 3ab^2 + b^3
\]
اجزای مشترک را با هم ساده میکنیم:
- \(a^3\) خنثی میشود.
- \(b^3\) خنثی میشود.
بنابراین باقی میماند:
\[
6a^2b - 6ab^2 = 6ab(a-b)
\]
اما باید به \(4ab\) برسیم. به نظر میرسد اشتباهی در مسئله وجود داشته است، زیرا با استفاده از محاسبات صحیح با اتحاد مکعب، به صورت منطقی به یک پاسخ متفاوت نظیر \(8ab\) خواهیم رسید.
لطفاً دوباره سوال یا شرطهای آن را بررسی کنید. ممکن است متنی که در اختیار دارید به درستی نمایش داده نشود.
