۶_ اگر نقاط تماس دایره محاطی داخلی مثلث ABC با اضلاع آن M و N و K باشند و T و T' نقطه های تماس یک دایره محاطی خارجی با خط های شامل دو ضلع باشند، نشان دهید: $AM = AN = P - a$ $BN = BK = P - b$ $CM = CK = P - c$ $AT = AT' = P$ به همین ترتیب اگر $h_a$ و $h_b$ و $h_c$ اندازه های سه ارتفاع باشند، نشان دهید: $\frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c} = \frac{1}{r}$ [شکل: دایره و مماس ها با نقاط مشخص شده T, T', A, M, N, B, K, C]

۸_ شش ضلعی منتظم ABCDEF مفروض است با امتداد دادن اضلاع شش ضلعی، مطابق شکل، مثلث MNP را ساخته ایم. الف) نشان دهید مثلث MNP متساوی الاضلاع است. ب) نشان دهید مساحت شش ضلعی، دو سوم مساحت مثلث MNP است. پ) از نقطه دلخواه T درون شش ضلعی عمودهای TH و TH' و TH'' را به ترتیب بر ED و AF و BC رسم کنید. با توجه به آنچه از هندسه پایه ۱ می دانید، مجموع طول های این سه عمود با کدام جزء از مثلث MNP برابر است؟ ت) مجموع مساحت های مثلث های TBC و TDE و TAF چه کسری از مساحت $S_{TBC} + S_{TDE} + S_{TAF} = S_{TAB} + S_{TEF} + S_{TCD}$ مثلث MNP است؟ نشان دهید: [شکل: شش ضلعی منتظم ABCDEF با مثلث MNP که از امتداد اضلاع ساخته شده]

۷_ یک دایره به شعاع r و n ضلعی های منتظم محاطی و محیطی آن در نظر بگیرید. نشان دهید اگر AB و CD اندازه های ضلع های n ضلعی منتظم محیطی و محاطی باشند، آنگاه: $AB = 2r \tan \frac{180^\circ}{n}$ $CD = 2r \sin \frac{180^\circ}{n}$ [شکل: دایره با n ضلعی محاطی و محیطی و نمایش شعاع r و زاویه مرکزی]