جواب این مسئله رو به روش کرامر حل کن

برای حل این دستگاه معادلات خطی با استفاده از روش کرامر، ابتدا باید دترمینان ماتریس ضرایب را محاسبه کنیم. دستگاه داده شده به این صورت است: \[ \begin{cases} x + y + 2z = 4 \x - 2y + z = 0 \x + 2y + z = 4 \end{cases} \] ابتدا ماتریس ضرایب را می‌نویسیم: \[ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \1 & -2 & 1 \1 & 2 & 1 \end{bmatrix} \] حال، دترمینان ماتریس \( A \) را محاسبه می‌کنیم: \[ \text{det}(A) = 1((-2)(1) - (1)(2)) - 1((1)(1) - (1)(2)) + 2((1)(2) - (-2)(1)) \] \[ = 1(-2 - 2) - 1(1 - 2) + 2(2 + 2) \] \[ = 1(-4) - 1(-1) + 2(4) \] \[ = -4 + 1 + 8 = 5 \] سپس به محاسبه‌ی \(\text{det}(A_x)\)، \(\text{det}(A_y)\)، و \(\text{det}(A_z)\) می‌پردازیم: برای \( A_x \)، ستون اول را با ماتریس \(\mathbf{b}\) جایگزین می‌کنیم: \[ A_x = \begin{bmatrix} 4 & 1 & 2 \0 & -2 & 1 \4 & 2 & 1 \end{bmatrix} \] \[ \text{det}(A_x) = 4((-2)(1) - (1)(2)) - 1((0)(1) - (1)(4)) + 2((0)(2) - (-2)(4)) \] \[ = 4(-2 - 2) - 1(0 - 4) + 2(0 + 8) \] \[ = 4(-4) + 4 + 16 = -16 + 4 + 16 = 4 \] برای \( A_y \)، ستون دوم را با ماتریس \(\mathbf{b}\) جایگزین می‌کنیم: \[ A_y = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 2 \1 & 0 & 1 \1 & 4 & 1 \end{bmatrix} \] \[ \text{det}(A_y) = 1((0)(1) - (1)(4)) - 4((1)(1) - (1)(1)) + 2((1)(4) - (0)(1)) \] \[ = 1(0 - 4) - 4(0) + 2(4) \] \[ = -4 + 0 + 8 = 4 \] برای \( A_z \)، ستون سوم را با ماتریس \(\mathbf{b}\) جایگزین می‌کنیم: \[ A_z = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 4 \1 & -2 & 0 \1 & 2 & 4 \end{bmatrix} \] \[ \text{det}(A_z) = 1((-2)(4) - (0)(2)) - 1((1)(4) - (1)(2)) + 4((1)(2) - (-2)(1)) \] \[ = 1(-8) - 1(4 - 2) + 4(2 + 2) \] \[ = -8 - 2 + 16 = 6 \] اکنون با استفاده از دترمینان‌ها، مجهولات \( x \)، \( y \) و \( z \) را محاسبه می‌کنیم: \[ x = \frac{\text{det}(A_x)}{\text{det}(A)} = \frac{4}{5} \] \[ y = \frac{\text{det}(A_y)}{\text{det}(A)} = \frac{4}{5} \] \[ z = \frac{\text{det}(A_z)}{\text{det}(A)} = \frac{6}{5} \] پس جواب نهایی: \[ x