برای حل سوال:
ابتدا به سادگی توانها را محاسبه میکنیم:
عبارت داخل پرانتز اول: \((\frac{3}{2})^3\)
عبارت داخل پرانتز دوم: \((\frac{3}{2})^{-4}\)
معنی \((\frac{3}{2})^{-4}\) به صورت \((\frac{2}{3})^4\) نوشته میشود.
حال عبارت اولیه تبدیل میشود به:
\[
\left(\frac{3}{2}\right)^3 \times \left(\frac{2}{3}\right)^4
\]
اگر از ویژگی توانها استفاده کنیم، داریم:
\[
\left(\frac{3}{2}\right)^3 \times \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \left(\frac{3}{2}\right)^{3-4} = \left(\frac{3}{2}\right)^{-1}= \frac{2}{3}
\]
با این حال، اگر بپرسیم عدد \(5\) هم بهعنوان توان وجود دارد، باید در محاسبات لحاظ شود. پس بهصورت دقیقتر داریم:
\[
\left(\left(\frac{3}{2}\right)^3\right)^5 \times \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \left(\frac{3}{2}\right)^{15} \times \left(\frac{2}{3}\right)^4
\]
با استفاده از جمع توانها:
\[
= \left(\frac{3}{2}\right)^{15-4} = \left(\frac{3}{2}\right)^{11}
\]
بنابراین پاسخ گزینه 1 \((\frac{3}{2})^{11}\) است.
