### الف:
حد وسط هندسی بین ۳ و ۴۸ را میتوانیم به صورت زیر محاسبه کنیم:
اگر \(\sqrt{3 \times 48} = \sqrt{144} = 12\).
حال جمله اول دنباله هندسی را با r و a مشخص میکنیم که:
\(a \cdot r = 3\),
\(a \cdot r^3 = 48\).
بنابراین \(r^2 = 16 \Rightarrow r = 4\).
پس \(a = \frac{3}{r} = \frac{3}{4}\).
جمله عمومی دنباله به صورت \(a_n = a \cdot r^{n-1}\) خواهد بود.
### ب:
اگر در یک دنباله حسابی داشته باشیم \(a_1 = 5\), \(a_5 = 18\), و \(d\) قدرنسبت دنباله باشد،
میتوانیم \(a_5 = a_1 + 4d\) استفاده کنیم. بنابراین:
\(18 = 5 + 4d \Rightarrow 13 = 4d \Rightarrow d = \frac{13}{4}\).
### ج:
اگر \( t_3 = 4\) و \(t_5 = 16\) و \( t_{2t_3} = 3t_5\),
ابتدا قدر نسبت را پیدا میکنیم:
استفاده از دنباله حسابی \(t_n = a + (n-1)d\):
\(t_3 = a + 2d = 4\),
\(t_5 = a + 4d = 16\).
دو معادله داریم:
1. \(a + 2d = 4\),
2. \(a + 4d = 16\).
با تفریق معادله اول از دوم:
\(2d = 12 \Rightarrow d = 6\).
حالا \(a = 4 - 2 \times 6 = -8\).
بنابراین \(t_n = -8 + (n-1) \times 6\).
### بخش دوم:
- مجموعه A به صورت بازه \((-\infty, 4]\) نمایش داده میشود.
- عبارتهای داده شده:
- عبارت اول \([ -1, -3) \subseteq (-\infty, -1)\): نادرست است. زیرا \(-1\) در چپ بازه دیگر نیست.
- عبارت دوم \((-1, 2] \subseteq [-1, 2]\): درست است. زیرا \([-1, 2]\) شامل کل \((-1, 2]\) است.
### سوال سوم:
فرض کنید \( \cos(\alpha) = -\frac{3}{5} \) در ناحیه دوم مثلثاتی. در ناحیه دوم، sin مثبت است.
از رابطهی مثلثاتی:
\( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \).
\(\sin^2(\alpha) = 1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}\).
بنابراین \(\sin(\alpha) = \frac{4}{5}\) (چون در ناحیه دوم مثبت است).
تانژانت: \(\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3}\).
