۸. نقاط $A = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$، $B = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$، $C = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ و $D = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ را روی کاغذ شطرنجی نشان دهید. سپس ثابت کنید زاویه های $\widehat{DEC}$ و $\widehat{CAB}$ برابرند.

۹. در مکعب زیر، چند مثلث متساوی الاضلاع می توان ساخت به طوری که رأس های آن $A$، $B$، $C$، $D$، $E$ یا $F$ باشند؟ همه این مثلث ها را نام ببرید. [شکل: مکعب با رئوس برچسب دار A در بالا، B و C و D در قاعده، و E و F روی یال های جانبی]

۱۰. یک کفش دوزک درون یک اتاق مکعبی شکل به طول یال ۱، حرکت می کند. او از یک کنج اتاق شروع به حرکت می کند و تا کنج دیگری که در هیچ وجهی با کنج اول مشترک نیست، از طریق سقف و دیوار می رود. اگر او کوتاه ترین مسیر را بپیماید، چه مسافتی را طی کرده است؟ توجه کنید که جواب این مسئله ۳ نیست؛ حتی $\sqrt{2} + 1$ هم نیست!

۱۱. در مثلث قائم الزاویه $MOQ$، ($90^{\circ} = \widehat{O}$) نقطه $P$ روی ضلع $OQ$ چنان قرار دارد که $MO = OP$ و $PQ = MP$. اگر $a = MO$، آنگاه طول ضلع $MQ$ را برحسب $a$ به دست آورید.

۱۲. نقطه $E$ خارج از مربع $ABCD$ قرار دارد به گونه ای که مثلث $DCE$ متساوی الاضلاع است. نقطه $F$ درون مربع $ABCD$ قرار دارد به گونه ای که مثلث $BCF$ متساوی الاضلاع است. اگر $1 = AB$، آنگاه طول $EF$ را به دست آورید.

۱۳. بیژن و خسرو می خواستند مساحت مثلثی با طول اضلاع ۲، ۳ و ۴ را حساب کنند. آن دو این مسئله را به صورت زیر حل کردند. درباره این دو راه حل بحث کنید و راه حل نادرست را اصلاح نمایید. راه حل بیژن: [شکل: مثلث ABC با ارتفاع h از رأس A بر قاعده BC که قاعده را به دو پاره خط x و (4-x) تقسیم کرده] از رابطه فیثاغورس در مثلث $ABD$ نتیجه می شود: $h^{2} = 2^{2} - x^{2}$ از رابطه فیثاغورس در مثلث $ACD$ نتیجه می شود: $h^{2} = 3^{2} - (4 - x)^{2}$ با توجه به دو رابطه ای که در بالا به دست آمد، داریم: $2^{2} - x^{2} = 3^{2} - (4 - x)^{2} \implies 4 - x^{2} = 9 - (16 - 8x + x^{2})$ $\implies 4 - x^{2} = 9 - 16 + 8x - x^{2}$ $\implies 11 = 8x$ $\implies x = \frac{11}{8}$ با جایگذاری مقدار $x$ در رابطه فیثاغورس مثلث $ABD$ داریم: $h^{2} = 4 - (\frac{11}{8})^{2} \implies h = \frac{3\sqrt{15}}{8}$ بنابراین مساحت مثلث $ABC$ برابر است با $\frac{3\sqrt{15}}{4}$