برای حل این سوال، ابتدا تعیین میکنیم که کوچکترین عدد 4 رقمی چیست. کوچکترین عدد 4 رقمی، 1000 است.
حالا باید ببینیم که عددی که میخواهیم پیدا کنیم، باید چه شرایطی را داشته باشد. طبق مسئله، این عدد باید باقیمانده 7 در تقسیم بر 57 و 76 داشته باشد. یعنی:
- \( n \mod 57 = 7 \)
- \( n \mod 76 = 7 \)
بیایید این شرایط را بصورت معادله بنویسیم:
1. \( n = 57k + 7 \)
2. \( n = 76m + 7 \)
از آنجا که هر دو معادله \( n \) را تعریف میکنند، میتوانیم آنها را برابر هم قرار دهیم:
\( 57k + 7 = 76m + 7 \)
حالا میتوانیم 7 را از دو طرف کم کنیم:
\( 57k = 76m \)
این معادله را میتوان به صورت زیر نوشت:
\( \frac{k}{m} = \frac{76}{57} \)
برای راحتی، نیاز داریم که \( k \) و \( m \) را به نحوی به هم مرتبط کنیم. میتوانیم از یکی از طرفین کم کنیم و سادهتر کنیم. به عنوان مثال:
با تقسیم 76 و 57 بر بزرگترین مقسوم علیه مشترک آنها، یعنی 19، خواهیم داشت:
- \( 76 \div 19 = 4 \)
- \( 57 \div 19 = 3 \)
حال میتوانیم رابطه را به شکل زیر بنویسیم:
\( k = 4t \)
\( m = 3t \)
حالا هر دو مقدار \( k \) و \( m \) را در معادله \( n \) قرار میدهیم. برای اینکار میتوانیم یکی از معادلات \( n \) را انتخاب کنیم. از معادله اول استفاده میکنیم:
\( n = 57k + 7 \)
که به این شکل میشود:
\( n = 57(4t) + 7 = 228t + 7 \)
حال میخواهیم کوچکترین عدد 4 رقمی (\( n \geq 1000 \)) را پیدا کنیم:
\( 228t + 7 \geq 1000 \)
از 7 کم کنیم:
\( 228t \geq 993 \)
حالا بر 228 تقسیم میکنیم:
\( t \geq \frac{993}{228} \approx 4.354 \)
پس \( t \) باید حداقل 5 باشد (چون \( t \) عدد صحیح است).
حالا \( t = 5 \) را در معادله \( n \) قرار میدهیم:
\( n = 228(5) + 7 = 1140 + 7 = 1147 \)
بنابراین، کوچکترین عدد 4 رقمی که باقیمانده تقسیم آن بر 57 و 76 عدد 7 باشد، عدد 1147 است.
پاسخ نهایی: **1147**
