برای حل سوال اول، میدانیم که تابع \( f(x) = 2x + a - 1 \) از نقطه \((1, 3)\) میگذرد. این به این معنی است که اگر \( x = 1 \) جایگذاری شود، باید \( f(1) = 3 \) باشد.
1. ابتدا \( x = 1 \) را در تابع جایگذاری میکنیم:
\[
f(1) = 2(1) + a - 1 = 3
\]
2. حالا معادله را حل میکنیم:
\[
2 + a - 1 = 3
\]
\[
1 + a = 3
\]
\[
a = 2
\]
پس مقدار \( a \) برابر 2 است و تابع \( f(x) = 2x + 2 - 1 = 2x + 1 \) خواهد بود.
برای سوال دوم:
الف) ضابطه \( f + g \) یعنی جمع دو تابع:
\[
f(x) = \frac{x + 1}{x - 2}
\]
\[
g(x) = \sqrt{x - 1}
\]
ضابطه \( f + g \):
\[
f(x) + g(x) = \frac{x + 1}{x - 2} + \sqrt{x - 1}
\]
ب) دامنه \( f \times g \):
- برای \( f(x) \)، صورت کسر نباید صفر شود، یعنی \( x \neq 2 \).
- برای \( g(x) \)، باید زیر رادیکال غیر منفی باشد، یعنی \( x - 1 \geq 0 \rightarrow x \geq 1 \).
ترکیب این شرایط: \( x \geq 1 \) و \( x \neq 2 \).
دامنه \( f \times g \) برابر است با:
\( x \in [1, 2) \cup (2, \infty) \).
