برای حل این سوال، طبق شکل داده شده، سه خط \(\overline{AM}\)، \(\overline{AN}\)، و \(\overline{BC}\) همگی مماس بر دایره هستند و \(\overline{AM}\) برابر ۱۰ است. از خصوصیت مماس‌های دایره، می‌دانیم که دو مماس رسم شده از یک نقطه بیرون دایره با هم برابرند. بنابراین: \[ \overline{AM} = \overline{AN} = ۱۰ \] از آنجا که \(\overline{BC}\) نیز مماس بر دایره است، داریم: \[ \overline{MB} = \overline{MC} \] بنابراین محیط مثلث \(ABC\) برابر است با: \[ \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CA} = \overline{AM} + \overline{MB} + \overline{MC} + \overline{AN} = ۱۰ + ۱۰ = ۲۰ \] بنابراین محیط مثلث \(ABC\) برابر با \(۲۰\) است. گزینه صحیح: \(۲\)