برای حل این سوال، طبق شکل داده شده، سه خط \(\overline{AM}\)، \(\overline{AN}\)، و \(\overline{BC}\) همگی مماس بر دایره هستند و \(\overline{AM}\) برابر ۱۰ است.
از خصوصیت مماسهای دایره، میدانیم که دو مماس رسم شده از یک نقطه بیرون دایره با هم برابرند. بنابراین:
\[
\overline{AM} = \overline{AN} = ۱۰
\]
از آنجا که \(\overline{BC}\) نیز مماس بر دایره است، داریم:
\[
\overline{MB} = \overline{MC}
\]
بنابراین محیط مثلث \(ABC\) برابر است با:
\[
\overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CA} = \overline{AM} + \overline{MB} + \overline{MC} + \overline{AN} = ۱۰ + ۱۰ = ۲۰
\]
بنابراین محیط مثلث \(ABC\) برابر با \(۲۰\) است.
گزینه صحیح: \(۲\)
