برای حل این سوال، می‌خواهیم تعداد پاره‌خط‌های ممکن را که می‌توانیم از 5 نقطه روی یک خط بکشیم، محاسبه کنیم.
یک پاره‌خط شامل 2 نقطه است. بنابراین، برای انتخاب 2 نقطه از 5 نقطه، نیاز به محاسبه‌ی ترکیب داریم. ترکیب به ما می‌گوید که چند راه مختلف برای انتخاب 2 نقطه از n نقطه وجود دارد.
فرمول ترکیب به شکل زیر است:
\[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
\]
که در آن \( n \) تعداد کل نقاط (در اینجا 5) و \( k \) تعداد نقاط انتخاب شده (در اینجا 2) است.
حالا مقادیر را جایگذاری می‌کنیم:
\[
C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!}
\]
حالا محاسبه می‌کنیم:
\[
5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120
\]
\[
2! = 2 \times 1 = 2
\]
\[
3! = 3 \times 2 \times 1 = 6
\]
حالا با استفاده از این مقادیر، ترکیب را حساب می‌کنیم:
\[
C(5, 2) = \frac{120}{2 \times 6} = \frac{120}{12} = 10
\]
بنابراین، تعداد پاره‌خط‌های ممکن که می‌توان از 5 نقطه روی یک خط تشکیل داد برابر با \( 10 \) است.
