برای حل این سوال ابتدا باید مجموعهها \( A_n \) را تشکیل دهیم.
تعریف \( A_n = \{ (-1)^n - n, 2n - 1 \} \) است.
برای هر عدد طبیعی \( n \) باید مقدار عناصر \( A_n \) را مشخص و سپس مجموعههای \( A_1 \)، \( A_3 \) و \( A_4 \) را محاسبه کنیم.
**1. محاسبه عناصر:**
- \( A_1 = \{ (-1)^1 - 1, 2 \times 1 - 1 \} = \{ -2, 1 \} \)
- \( A_3 = \{ (-1)^3 - 3, 2 \times 3 - 1 \} = \{ -4, 5 \} \)
- \( A_4 = \{ (-1)^4 - 4, 2 \times 4 - 1 \} = \{ -3, 7 \} \)
**2. انجام عملیات مجموعهها:**
ابتدا اجتماع و اشتراک را بیابیم:
- \( A_2 \cup A_3 = \{ -4, -1, 5 \} \) (مقدار \( A_2 \) باید محاسبه شود تا عملیات اجتماع درست انجام شود.)
- \( A_1 \cap A_4 = \{ -2 \} \) (عنصر مشترکی وجود ندارد پس مجموعه خالی است.)
اکنون عملیاتها را جایگذاری میکنیم:
- \( (A_2 \cup A_3) - (A_1 \cap A_4) = \{ -4, -1, 5 \} - \emptyset = \{ -4, -1, 5 \} \)
کوچکترین عضو صحیح این مجموعه \(-4\) است.
بنابراین، گزینه \( 2 \) صحیح است.