توابع گویا توابعی هستند که به شکل کسرهایی از دو چندجمله‌ای نوشته می‌شوند. به عبارت دیگر، تابعی \( f(x) \) را تابع گویا می‌نامیم اگر بتوان آن را به شکل زیر نوشت:
\[
f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}
\]
که در آن \( P(x) \) و \( Q(x) \) هر دو چندجمله‌ای هستند و \( Q(x) \neq 0 \).
برای تشخیص این که یک تابع گویا هست یا نه، به موارد زیر توجه کنید:
1. **شکل تابع**: بررسی کنید که آیا تابع به شکل کسر دو چندجمله‌ای نوشته شده است یا خیر. به عنوان مثال، تابع \( \frac{x^2 + 1}{x - 3} \) یک تابع گویا است زیرا در شکل کسر از دو چندجمله‌ای است.
2. **چندجمله‌ای بودن صورت و مخرج**: اطمینان حاصل کنید که صورت (P(x) و مخرج (Q(x) توابع چندجمله‌ای هستند. مثلاً \( x^2 + 1 \) و \( x - 3 \) هر دو چندجمله‌ای هستند.
3. **مقدار مخرج**: توجه داشته باشید که مخرج هیچ‌گاه نباید صفر شود، زیرا بر این اساس تابع تعریف نمی‌شود. بنابراین باید نقاطی که \( Q(x) = 0 \) را بررسی کنید تا مشخص کنید تابع در آن نقاط تعریف نشده است.
### مثال‌ها:
- **مثال 1**: \( f(x) = \frac{2x + 3}{x^2 - 1} \)
- صورت: \( 2x + 3 \) (چندجمله‌ای)
- مخرج: \( x^2 - 1 \) (چندجمله‌ای و غیر صفر برای هر x به جز \( x = 1 \) و \( x = -1 \))
=> این تابع گویا است.
- **مثال 2**: \( g(x) = \frac{\sin(x)}{x + 1} \)
- این تابع گویا نیست زیرا \( \sin(x) \) یک تابع مثلثاتی و نه چندجمله‌ای است.
در نتیجه، با استفاده از این نکات می‌توانید توابع گویا را تشخیص دهید. اگر نمونه خاصی دارید که نیاز به بررسی آن دارید، می‌توانید آن را مطرح کنید!
