جواب معرکه
برای اثبات اینکه در هر مثلث متساویالاضلاع، نیمساز، میانه و ارتفاع یکسان هستند، از ویژگیهای هندسی مثلث استفاده میکنیم.
فرض:
مثلث ABC را در نظر بگیرید که در آن AB = AC = BC.
اثبات:
1. نقطه D:
نقطه D را بهعنوان نقطه میانهی ضلع BC در نظر میگیریم. بنابراین، BD = DC.
2. نیمساز زاویه A:
نیمساز زاویه A را در نظر بگیرید که BD را به دو قسمت مساوی تقسیم میکند. به این ترتیب، زاویه ABD = زاویه ACD.
3. مثلثهای همقد:
در مثلثهای ABD و ACD:
- AB = AC (چون مثلث متساویالاضلاع است)
- BD = DC (چون D نقطه میانه است)
- زاویه ABD = زاویه ACD (چون BD نیمساز زاویه A است)
بنابراین، طبق قاعده مثلث (مثلثهای همقد)، میتوان نتیجه گرفت که:
مثلث ABD ≅ مثلث ACD.
4. نتیجهگیری:
از برابری مثلثها نتیجه میگیریم که:
- AD = AD (مشترک)
- زاویه ADB = زاویه ADC (چون مثلثها همقد هستند)
این نشان میدهد که AD عمود بر BC است و در نتیجه، AD هم میانه و هم نیمساز است.
نتیجه نهایی:
بنابراین، در هر مثلث متساویالاضلاع، نیمساز، میانه و ارتفاع از یک رأس به ضلع مقابل یکسان هستند.
