۱۴۶- تابع $y = x|x^2 - 1|$ چند نقطه بحرانی دارد؟ ۱) ۰ ۲) ۲ ۳) ۳ ۴) ۴

می‌دانیم منظور از نقاط بحرانی، نقاطی درون دامنه تابع است که مشتق در آن صفر و یا تعریف‌نشده باشد. پس ابتدا $f'(x)$ را به دست می‌آوریم: $f(x) = x|x^2 - 1| \Rightarrow f(x) = \begin{cases} x(x^2 - 1) & ; x \geq 1 \text{ یا } x \leq -1 \\ -x(x^2 - 1) & ; -1 < x < 1 \end{cases}$ $\Rightarrow f(x) = \begin{cases} x^3 - x & ; x \geq 1 \text{ یا } x \leq -1 \\ -x^3 + x & ; -1 < x < 1 \end{cases} \Rightarrow f'(x) = \begin{cases} 3x^2 - 1 & ; x > 1 \text{ یا } x < -1 \\ -3x^2 + 1 & ; -1 < x < 1 \end{cases}$ $f(x)$ در $x = \pm 1$ مشتق‌ناپذیر است زیرا: $f'_+(1) = 3(1)^2 - 1 = 2, f'_-(1) = -3(1)^2 + 1 = -2 \Rightarrow f'_+(1) \neq f'_-(1)$ $f'_+(-1) = -3(-1)^2 + 1 = -2, f'_-(-1) = 3(-1)^2 - 1 = 2 \Rightarrow f'_+(-1) \neq f'_-(-1)$ همچنین از حل معادله $f'(x) = 0$ داریم: $x > 1 \text{ یا } x < -1 : 3x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x^2 = 1/3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3}/3$ (غیرقابل قبول) $-1 < x < 1 : -3x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = 1/3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3}/3$ پس تابع $f(x)$ چهار نقطه بحرانی به طول‌های $\pm 1$ و $\pm \sqrt{3}/3$ دارد.