چی میشه جواب؟

برای اثبات اینکه اگر میانگین حسابی و میانگین هندسی دو عدد برابر باشد، آن دو عدد نیز مساوی‌اند، به صورت زیر عمل می‌کنیم: فرض کنید دو عدد برابر \( a \) و \( b \) باشند. **میانگین حسابی** دو عدد \( a \) و \( b \) به صورت زیر محاسبه می‌شود: \[ A = \frac{a + b}{2} \] **میانگین هندسی** دو عدد \( a \) و \( b \) به صورت زیر محاسبه می‌شود: \[ G = \sqrt{ab} \] طبق فرض مسئله داریم: \[ \frac{a + b}{2} = \sqrt{ab} \] دو طرف این معادله را به توان دو می‌رسانیم: \[ \left(\frac{a + b}{2}\right)^2 = (\sqrt{ab})^2 \] که معادل است با: \[ \frac{(a + b)^2}{4} = ab \] پس: \[ (a + b)^2 = 4ab \] با باز کردن پرانتز داریم: \[ a^2 + 2ab + b^2 = 4ab \] طرفین معادله را ساده می‌کنیم: \[ a^2 - 2ab + b^2 = 0 \] که به صورت زیر قابل تجزیه است: \[ (a - b)^2 = 0 \] در نتیجه: \[ a - b = 0 \Rightarrow a = b \] بنابراین، اگر میانگین حسابی و میانگین هندسی دو عدد مساوی باشند، آن دو عدد حتماً برابرند.