### **سوال ۱**
**الف) طرف دیگر تساوی زیر را با استفاده از اتحاد بنویسید:**
/[ (2x - 4)^2 = /dots /]
با استفاده از اتحاد دوم $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ داریم:
- در اینجا $a = 2x$ و $b = 4$ است.
- پس: $(2x)^2 - 2(2x)(4) + (4)^2 = 4x^2 - 16x + 16$
**پاسخ:** /( 4x^2 - 16x + 16 /)
**ب) عبارت جبری زیر را تجزیه کنید:**
/[ x^2 - 25 /]
این یک اتحاد تفاضل دو مربع است: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
- در اینجا $a = x$ و $b = 5$ است.
**پاسخ:** /( (x - 5)(x + 5) /)
**ج) مجموعه جواب نامعادله زیر را بدست آورید و جواب را روی محور نمایش دهید:**
/[ 3 - 2x /geq 13 - 7x /]
۱. ابتدا تمام جملات دارای $x$ را به یک طرف و اعداد را به طرف دیگر میبریم:
/[ -2x + 7x /geq 13 - 3 /]
/[ 5x /geq 10 /]
۲. طرفین را بر ۵ تقسیم میکنیم:
/[ x /geq 2 /]
**پاسخ:** مجموعه جواب /( /{x | x /geq 2/} /) است. (روی محور، از عدد ۲ یک دایره پر میگذاریم و به سمت راست رنگ میکنیم).
---
### **سوال ۲**
**الف) خط به معادله /( 2x - 3x = 7 /) رسم کنید.**
*(نکته: احتمالاً در صورت سوال اشتباه تایپی وجود دارد و منظور /( 2x - 3y = 7 /) یا چیزی مشابه بوده، چون /( 2x - 3x = -x /) است و یک خط ساده نیست. اما اگر دقیقاً همین باشد: /( -x = 7 /Rightarrow x = -7 /). این خطی است که موازی با محور $y$ است و از نقطه $-7$ روی محور $x$ میگذرد).*
**ب) معادله خطی بنویسید که با این خط موازی باشد و از نقطه /( [4, 1] /) بگذرد.**
اگر فرض کنیم خط اول همان /( x = -7 /) باشد، خط موازی با آن هم باید به صورت /( x = a /) باشد. چون از نقطه /( [4, 1] /) میگذرد، معادله میشود:
**پاسخ:** /( x = 4 /)
---
### **سوال ۳**
**دستگاه مقابل را حل کنید:**
/[ /begin{cases} x - 7y = 6 // 4x - y = 1 /end{cases} /]
از روش جایگذاری یا حذف استفاده میکنیم. از معادله دوم داریم: /( y = 4x - 1 /).
حالا این را در معادله اول قرار میدهیم:
/[ x - 7(4x - 1) = 6 /]
/[ x - 28x + 7 = 6 /]
/[ -27x = -1 /Rightarrow x = /frac{1}{27} /]
حالا $x$ را در رابطه /( y = 4x - 1 /) میگذاریم:
/[ y = 4(/frac{1}{27}) - 1 = /frac{4}{27} - /frac{27}{27} = -/frac{23}{27} /]
**پاسخ:** /( (x, y) = (/frac{1}{27}, -/frac{23}{27}) /)
---
### **سوال ۴**
**الف) عبارت مقابل را ساده کنید:**
/[ /frac{-5x^2y^4}{10x^2y^4} /]
اختصار میبخشیم: /( x^2 /) و /( y^4 /) با هم ساده میشوند.
/[ /frac{-5}{10} = -/frac{1}{2} /]
**پاسخ:** /( -/frac{1}{2} /)
**ب) خارج قسمت و باقیمانده تقسیم زیر را به دست آورید:**
/[ (x^3 - 2x^2 - 1) /div (x - 2) /]
با تقسیم چندجملهایها (یا روش Horner):
۱. تقسیم /( x^3 /) بر /( x /) میشود /( x^2 /).
۲. باقیمانده مرحله اول: /( (x^3 - 2x^2) - (x^3 - 2x^2) = 0 /).
۳. آخرین مرحله: باقیمانده عدد ثابت /( -1 /) است.
**پاسخ:** خارج قسمت: /( x^2 /)، باقیمانده: /( -1 /)
---
### **سوال ۵**
**اگر ارتفاع یک قیف بسیتی ۲۰ سانتیمتر و شعاع قاعدهاش ۶ سانتیمتر باشد، حجم فضای داخل قیف را به دست آورید (/( /pi /approx 3 /)):**
فرمول حجم مخروط (قیف): /( V = /frac{1}{3} /times /text{Base Area} /times /text{Height} = /frac{1}{3} /pi r^2 h /)
مقادیر: /( r = 6 /), /( h = 20 /), /( /pi = 3 /)
/[ V = /frac{1}{3} /times 3 /times (6)^2 /times 20 /]
/[ V = 1 /times 36 /times 20 = 720 /]
**پاسخ:** /( 720 /text{ cm}^3 /)
