برای حل این مسئله، مراحل زیر را دنبال میکنیم:
1. **محیط مثلث**:
طبق سوال، محیط مثلث برابر است با \(16\) واحد.
\[
AB + BC + CA = 5x - 4 + 7x - 1 + x + 6 = 16
\]
\[
13x + 1 = 16
\]
\[
13x = 15 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{15}{13}
\]
2. **طول اضلاع مثلث**:
با استفاده از مقدار \(x\)، طول هر ضلع را پیدا میکنیم:
\[
AB = 5x - 4 = 5 \times \frac{15}{13} - 4 = \frac{75}{13} - \frac{52}{13} = \frac{23}{13}
\]
\[
BC = 7x - 1 = 7 \times \frac{15}{13} - 1 = \frac{105}{13} - \frac{13}{13} = \frac{92}{13}
\]
\[
CA = x + 6 = \frac{15}{13} + \frac{78}{13} = \frac{93}{13}
\]
3. **مساحت مثلث**:
از فرمول مساحت (با توجه به شعاع دایره داخلی):
\[
A = r \cdot s
\]
که \(s\) نصف محیط مثلث و \(r\) شعاع دایره داخلی است.
\[
s = \frac{16}{2} = 8
\]
همچنین طبق سوال دادهشده که قطر دایره برابر با 5 واحد است، پس \(r = 2.5\).
بنابراین، مساحت برابر است با:
\[
A = 2.5 \times 8 = 20
\]
مساحت مثلث برابر با \(20\) واحد مربع است.
