آمار یازدهم

برای حل این مسئله از مبحث فاصله اطمینان می‌خواهیم استفاده کنیم. فرض کنید میانگین نمونه‌ای از تعداد \( n = 5 \) برای جامعه داریم که مقادیر نمونه به صورت \( 2, 3, 6, 7, 4 \) است. همچنین می‌خواهیم با ضریب اطمینان ۹۵٪ یک فاصله اطمینان برای میانگین جامعه بسازیم. ۱. **محاسبه میانگین نمونه (\( \bar{x} \))**: \[ \bar{x} = \frac{2 + 3 + 6 + 7 + 4}{5} = \frac{22}{5} = 4.4 \] ۲. **محاسبه انحراف معیار نمونه (\( s \))**: \[ s = \sqrt{\frac{(2-4.4)^2 + (3-4.4)^2 + (6-4.4)^2 + (7-4.4)^2 + (4-4.4)^2}{n-1}} \] \[ s = \sqrt{\frac{(-2.4)^2 + (-1.4)^2 + (1.6)^2 + (2.6)^2 + (-0.4)^2}{4}} \] \[ s = \sqrt{\frac{5.76 + 1.96 + 2.56 + 6.76 + 0.16}{4}} = \sqrt{\frac{17.2}{4}} \approx 2.074 \] ۳. **یافتن مقدار \( t \) از جدول توزیع \( t \)**: با توجه به ۴ درجه آزادی و ضریب اطمینان ۹۵٪، مقدار \( t \approx 2.776 \). ۴. **محاسبه فاصله اطمینان**: \[ \bar{x} \pm t \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \] \[ 4.4 \pm 2.776 \cdot \frac{2.074}{\sqrt{5}} \] \[ 4.4 \pm 2.576 \cdot 0.928 \] \[ 4.4 \pm 2.58 \approx 4.4 \pm 2.397 \] بنابراین فاصله اطمینان ۹۵٪ برای میانگین جامعه حدودا به صورت \( (2.003, 6.797) \) است.