در اینجا با تابع قطعهای \( g(x) \) سروکار داریم که به شکل زیر تعریف شده است:
\[
g(x) =
\begin{cases}
x^2 + b & x < -1 \bx + 2 & x \geq -1
\end{cases}
\]
هدف، بررسی پیوستگی تابع \( g \) در \( x = -1 \) است. تابع \( g \) در نقطه \( x = -1 \) پیوسته است اگر:
1. \( \lim_{x \to -1^-} g(x) = \lim_{x \to -1^+} g(x) = g(-1) \)
**گام اول: محاسبه \( \lim_{x \to -1^-} g(x) \)**
وقتی \( x \to -1^- \)، آنگاه \( g(x) = x^2 + b \).
\[
\lim_{x \to -1^-} g(x) = (-1)^2 + b = 1 + b
\]
**گام دوم: محاسبه \( \lim_{x \to -1^+} g(x) \)**
وقتی \( x \to -1^+ \)، آنگاه \( g(x) = bx + 2 \).
\[
\lim_{x \to -1^+} g(x) = b(-1) + 2 = -b + 2
\]
**گام سوم: بررسی پیوستگی در \( x = -1 \):**
برای پیوستگی، باید:
\[
1 + b = -b + 2 = g(-1)
\]
اگر \( x = -1 \) در تابع دوم است، \( g(-1) = -b + 2 \).
بنابراین برای پیوستگی باید:
\[ 1 + b = -b + 2 \]
حل معادله:
\[ 2b = 1 \]
\[ b = \frac{1}{2} \]
بنابراین، تابع \( g(x) \) در \( x = -1 \) پیوسته است اگر \( b = \frac{1}{2} \).
---
اکنون بررسی پیوستگی \( f(x) \):
تابع \( f(x) \) به شکل زیر تعریف شده است:
\[
f(x) =
\begin{cases}
a + x^2 & x < 1 \c & x = 1 \\sqrt{x} + a & x > 1
\end{cases}
\]
هدف این است که پیوستگی \( f \) را در \( x = 1 \) بررسی کنیم.
تابع \( f \) در نقطه \( x = 1 \) پیوسته است اگر:
1. \( \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) \)
در صورت مسئله نداریم \( f(1) \) یعنی \( c = f(1) \).
**گام اول: محاسبه \( \lim_{x \to 1^-} f(x) \)**
وقتی \( x \to 1^- \)، آنگاه \( f(x) = a + x^2 \).
\[
\lim_{x \to 1^-} f(x) = a + 1^2 = a + 1
\]
**گام دوم: محاسبه \( \lim_{x \to 1^+} f(x) \)**
وقتی \( x \to 1^+ \)، آنگاه \( f(x) = \sqrt{x} + a \).
\[
\lim_{x \to 1^+} f(x) = \sqrt{1} + a = a + 1
\]
**بررسی پیوستگی در \( x = 1 \):**
برای پیوستگی، باید:
\[
a + 1 = c = a + 1
\]
این شرایط بطور خودکار برقرار است، پس تنها شرط پیوستگی حاصل شده است.
---
بنابراین، تابع \( g(x) \) پیوسته است وقتی \( b = \frac{1}{2} \) و \( f(x) \) بدون شرط اضافی در \( x = 1 \) پیوسته است.
