در فعالیت زیر نشان می دهیم هر چندضلعی منتظم، هم محاطی و هم محیطی است. فعالیت: فرض کنید اندازه هر زاویه $n$ ضلعی منتظم $2\alpha$ باشد؛ عمود منصف های دو ضلع $AB$ و $BC$ را رسم می کنیم. فرض کنیم در $O$ متقاطع اند. بنابراین $OA=......=OC$. پس $\triangle OAB \cong \triangle OBC$ چرا؟ $\widehat{OAB} = \widehat{OBA} = \widehat{OBC} = \widehat{OCB} = \alpha$. اکنون از $O$ به $D$ وصل می کنیم. چرا اندازه $\widehat{OCD}$ برابر $\alpha$ است؟ چرا $\triangle OCD \cong \triangle OCB$ و $OA=OB=OC=OD$؟ با ادامه این روند داریم: $OH=ON=OM=......$ و $OA=OB=OC=OD=......$ بنابراین $O$ از همه رأس ها به یک فاصله است؛ پس مرکز دایره ای است که از تمام رأس های $n$ ضلعی منتظم می گذرد. به همین ترتیب $O$ از تمام ضلع ها به یک فاصله است؛ پس مرکز دایره ای است که بر تمام ضلع های $n$ ضلعی منتظم مماس است. [شکل: چندضلعی منتظم محاط در دایره، مرکز $O$، نقاط $A, B, C, D$ روی دایره، نقاط $H, L, M, N$ روی اضلاع به عنوان پای عمودها، زوایای $\alpha$ مشخص شده روی شکل]