برای حل این مسئله، ابتدا عبارت داده شده را بررسی میکنیم. عبارت به صورت \( f \circ f(x) = kx + 4 \) داده شده که \( f \) یک تابع خطی است.
تابع خطی به صورت کلی به شکل \( f(x) = ax + b \) تعریف میشود.
بر اساس شرط سؤال، تابع ترکیبی \( f \circ f(x) \) باید برابر \( kx + 4 \) شود:
\[
f(f(x)) = a(ax + b) + b = a^2x + ab + b
\]
مطابق با شرط داده شده در سؤال:
\[
a^2 x + ab + b = kx + 4
\]
این معادله باید برای تمامی مقادیر \( x \) صادق باشد. بنابراین میتوان ضرایب \( x \) و عدد ثابت را مقایسه کرد:
- ضریب \( x \): \( a^2 = k \)
- جزء ثابت: \( ab + b = 4 \)
برای حل این معادلات:
1. از \( a^2 = k \) میتوان \( k = a^2 \) نتیجه گرفت.
2. معادله دوم به شکل \( b(a + 1) = 4 \) درمیآید.
بنابراین \( b \) برابر است با:
\[
b = \frac{4}{a+1}
\]
در نتیجه، \( f(x) = ax + \frac{4}{a+1} \) و \( k = a^2 \) است.
این توابع و ضرایب را میتوان در سؤال بررسی کرد تا از ساختار تابع خطی و مقدار \( k \) اطمینان حاصل کرد.
