برای اثبات اینکه در یک مستطیل، قطرها با هم مساوی هستند، میتوانیم از ویژگیهای خاص مستطیل استفاده کنیم. مستطیل چهارضلعی است که در آن هر زاویه قائمه است و اضلاع روبهرو برابر هستند.
فرض کنیم مستطیل \(ABCD\) با قطرهای \(AC\) و \(BD\) داریم.
1. مستطیلها دارای زوایای قائمه هستند، یعنی هر زاویه مستطیل برابر با \(90\) درجه است.
2. دو مثلث \( \triangle ABC \) و \( \triangle ABD \) را در نظر بگیرید.
این مثلثها به دلیل زیر مشابهاند:
- \( \angle ABC = \angle ADC = 90^{\circ} \) (به دلیل ویژگیهای مستطیل)
- آنها ضلع مشترک \(AB\) دارند.
- \(BC = AD\) و \(AB = CD\) به دلیل برابری اضلاع روبهروی مستطیل.
با توجه به این ویژگیها، مثلثهای \( \triangle ABC \) و \( \triangle ABD \) با استفاده از قضیه فیثاغورس اثبات میشوند:
- در هر دو مثلث، قطرها عبارتاند از:
\[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} \]
\[ BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} \]
چون \(BC = AD\)، بنابراین \(AC = BD\).
بنابراین، ثابت میشود که قطرهای مستطیل باهم برابرند.
