سلام! به نظر میرسد شما تعدادی مسئله ریاضی مربوط به محیط دایره، چرخش چرخها و محاسبه مساحت دارید. من خوشحال میشوم که به شما در حل این مسائل کمک کنم.
من این مسائل را به ترتیب بررسی میکنم و برای حل آنها از فرمولهای مربوط به محیط دایره (
محیط
=
2
𝜋
𝑟
محیط=2πr
یا
محیط
=
𝜋
𝑑
محیط=πd
) و مفهوم تناسب در حرکت چرخها استفاده خواهم کرد.
برای حل دقیقتر، از تقریب
𝜋
≈
3.14
π≈3.14
یا
𝜋
≈
22
7
π≈
7
22
استفاده خواهم کرد، مگر اینکه در صورت مسئله چیز دیگری ذکر شده باشد. در مسائل زیر، برای دقت بیشتر، از مقادیر اعشاری استفاده میکنم.
مسئله ۱: مساحت زمین فوتبال
صورت مسئله: محیط چرخ جلوی یک دوچرخه ۱۱۳ متر است. این چرخ در طول زمین فوتبال ۸۰ دور و در عرض زمین ۵۰ دور کامل می زند. مساحت این زمین چند متر مربع است؟
مرحله ۱: محاسبه محیط چرخ
محیط چرخ (
𝐶
C
) داده شده است:
𝐶
=
113
متر
C=113 متر
مرحله۲: محاسبه طول زمین
طول زمین (
𝐿
L
) برابر است با محیط چرخ ضربدر تعداد دور در طول زمین:
𝐿
=
𝐶
×
تعداد دور در طول
=
113
×
80
L=C×تعداد دور در طول=113×80
𝐿
=
9040
متر
L=9040 متر
مرحله ۳: محاسبه عرض زمین
عرض زمین (
𝑊
W
) برابر است با محیط چرخ ضربدر تعداد دور در عرض زمین:
𝑊
=
𝐶
×
تعداد دور در عرض
=
113
×
50
W=C×تعداد دور در عرض=113×50
𝑊
=
5650
متر
W=5650 متر
مرحله ۴: محاسبه مساحت زمین
مساحت زمین (
𝐴
A
) برابر است با طول ضربدر عرض:
𝐴
=
𝐿
×
𝑊
=
9040
×
5650
A=L×W=9040×5650
𝐴
=
51
,
060
,
000
متر مربع
A=51,060,000 متر مربع
پاسخ مسئله ۱: مساحت زمین فوتبال
51
,
060
,
000
51,060,000
متر مربع است.
مسئله ۲ (الف): دور چرخ بزرگتر
صورت مسئله: چرخی به قطر ۲ سانتیمتر را به وسیله تسمه به چرخی به شعاع ۱ سانتیمتر وصل کردهایم. اگر چرخ کوچک ۱۰۰۰ دور بزند، چرخ بزرگ چند دور خواهد زد؟
مرحله ۱: تبدیل واحدها و محاسبه محیطها
چرخ بزرگ (۱): قطر (
𝑑
1
d
1
) =
2
سانتیمتر
2 سانتیمتر
.
محیط چرخ بزرگ (
𝐶
1
C
1
):
𝐶
1
=
𝜋
𝑑
1
=
2
𝜋
سانتیمتر
C
1
=πd
1
=2π سانتیمتر
چرخ کوچک (۲): شعاع (
𝑟
2
r
2
) =
1
سانتیمتر
1 سانتیمتر
. پس قطر (
𝑑
2
d
2
) =
2
𝑟
2
=
2
سانتیمتر
2r
2
=2 سانتیمتر
.
محیط چرخ کوچک (
𝐶
2
C
2
):
𝐶
2
=
2
𝜋
𝑟
2
=
2
𝜋
×
1
=
2
𝜋
سانتیمتر
C
2
=2πr
2
=2π×1=2π سانتیمتر
نکته مهم: در این مسئله، محیط دو چرخ با هم برابر است (
𝐶
1
=
𝐶
2
=
2
𝜋
C
1
=C
2
=2π
). اگر محیط دو چرخ متصل به تسمه برابرمرحله ۲: محاسبه تعداد دور چرخ بزرگ (
𝑁
1
N
1
)
تعداد دور چرخ کوچک (
𝑁
2
N
2
) =
1000
1000
دور.
چون
𝐶
1
=
𝐶
2
C
1
=C
2
، پس:
𝑁
1
=
𝑁
2
=
1000
دور
N
1
=N
2
=1000 دور
پاسخ مسئله ۲ (الف): چرخ بزرگ
1000
1000
دور خواهد زد.
مسئله ۲ (ب): قطر چرخ بزرگتر (با فرض اصلاح اشتباه تایپی)
صورت مسئله: شعاع چرخ کوچک چرخی
116
116
متر است. اگر چرخ کوچک
150
150
دور بزند، چرخ بزرگ
120
120
دور میزند. قطر چرخ بزرگ چند متر است؟
فرض: “شعاع کوچک چرخی ۱۱۶ متر است اکرام ر است” احتمالاً منظور این بوده که شعاع چرخ کوچک (
𝑟
2
r
2
) برابر
116
116
متر است. (اگرچه این یک شعاع بسیار بزرگ برای یک چرخ است، اما محاسبات را بر اساس متن ادامه میدهم).
مرحله ۱: محاسبه محیط چرخ کوچک (
𝐶
2
C
2
)
شعاع چرخ کوچک (
𝑟
2
r
2
) =
116
متر
116 متر
.
𝐶
2
=
2
𝜋
𝑟
2
=
2
𝜋
(
116
)
=
232
𝜋
متر
C
2
=2πr
2
=2π(116)=232π متر
مرحله ۲: محاسبه مسافت طی شده (
𝐷
D
)
مسافت طی شده با استفاده از چرخ کوچک:
𝐷
=
𝐶
2
×
𝑁
2
=
(
232
𝜋
)
×
150
D=C
2
×N
2
=(232π)×150
𝐷
=
34
,
800
𝜋
متر
D=34,800π متر
مرحله ۳: محاسبه محیط چرخ بزرگ (
𝐶
1
C
1
)
مسافت طی شده برای چرخ بزرگ نیز همان
𝐷
D
است. چرخ بزرگ
𝑁
1
=
120
N
1
=120
دور میزند:
𝐶
1
=
𝐷
𝑁
1
=
34
,
800
𝜋
120
C
1
=
N
1
D
=
120
34,800π
𝐶
1
=
290
𝜋
متر
C
1
=290π متر
مرحله ۴: محاسبه قطر چرخ بزرگ (
𝑑
1
d
1
)
میدانیم
𝐶
1
=
𝜋
𝑑
1
C
1
=πd
1
:
𝑑
1
=
𝐶
1
𝜋
=
290
𝜋
𝜋
d
1
=
π
C
1
=
π
290π
𝑑
1
=
290
متر
d
1
=290 متر
پاسخ مسئله ۲ (ب): قطر چرخ بزرگ
290
290
متر است.
مسئله ۲ (ج): دور چرخ کوچکتر (با فرض اصلاح اشتباه تایپی)
صورت مسئله: محیط چرخ کوچک وسیله نقلیهای
120
120
سانتیمتر است که محیط چرخ بزرگ آن میباشد. اگر چرخ بزرگ این وسیله برای طی مسافتی
12
12
دور بزند، چرخ کوچک آن چند دور خواهد زد؟
فرض اصلاحی: جمله “محیط چرخ کوچک وسیله نقلیهای
120
120
سانتیمتر است که محیط چرخ بزرگ آن میباشد” کمی مبهم است. معمولاً در این نوع مسائل، محیط یکی از چرخها داده میشود و از ما خواسته میشود محیط دیگری را محاسبه کنیم یا اینکه نسبت داده میشود. با توجه به ساختار سوالات، فرض میکنم محیط چرخ کوچک (
𝐶
2
C
2
) برابر
120
120
سانتیمتر است و در ادامه یک نسبت یا مقداری برای چرخ بزرگ داده شده است که در متن نیامده.
با توجه به اینکه اطلاعات چرخ بزرگ ناقص است، این مسئله را بر اساس یک فرض منطقی حل میکنم:
فرض: محیط چرخ کوچک (
𝐶
2
C
2
) =
120
سانتیمتر
120 سانتیمتر
. محیط چرخ بزرگ (
𝐶
1
C
1
) باید عددی بزرگتر باشد (مثلاً
𝐶
1
=
180
سانتیمتر
C
1
=180 سانتیمتر
، یا نسبت
𝐶
1
𝐶
2
C
2
C
1
داده شده باشد). اگر فرض کنیم محیط چرخ بزرگ
180
180
سانتیمتر است (یک نسبت رایج ۳ به ۲):
𝐶
2
=
120
سانتیمتر
C
2
=120 سانتیمتر
𝐶
1
=
180
سانتیمتر
C
1
=180 سانتیمتر
(فرض شده)
دور چرخ بزرگ (
𝑁
1
N
1
) =
12
12
دور
مرحله ۱: محاسبه مسافت طی شده (
𝐷
D
)
𝐷
=
𝐶
1
×
𝑁
1
=
180
×
12
=
2160
سانتیمتر
D=C
1
×N
1
=180×12=2160 سانتیمتر
مرحله ۲: محاسبه دور چرخ کوچک (
𝑁
2
N
2
)
𝑁
2
=
𝐷
𝐶
2
=
2160
120
N
2
=
C
2
D
=
120
2160
𝑁
2
=
18
دور
N
2
=18 دور
پاسخ مسئله ۲ (ج): با فرض اینکه محیط چرخ بزرگ
180
سانتیمتر
180 سانتیمتر
باشد، چرخ کوچک
18
18
دور خواهد زد.
(لطفاً در صورت امکان، مقدار محیط چرخ بزرگ یا نسبت محیطها را تأیید کنید تا پاسخ دقیقتری ارائه دهم.)
مسئله ۳ (الف): شعاع چرخ با استفاده از مسافت و دور
صورت مسئله: چرخی مسافت
339.12
339.12
متر را با
216
216
دور طی کرده است. شعاع چرخ چند متر است؟ (فرض میکنیم
𝜋
≈
3.14
π≈3.14
برای این عدد دقیق استفاده شده است).
مرحله ۱: محاسبه محیط چرخ (
𝐶
C
)
𝐶
=
مسافت طی شده
تعداد دور
=
339.12
216
C=
تعداد دور
مسافت طی شده
=
216
339.12
𝐶
=
1.57
متر
C=1.57 متر
مرحله ۲: محاسبه شعاع چرخ (
𝑟
r
)
میدانیم
𝐶
=
2
𝜋
𝑟
C=2πr
. پس
𝑟
=
𝐶
2
𝜋
r=
2π
C
. با استفاده از
𝜋
≈
3.14
π≈3.14
:
𝑟
=
1.57
2
×
3.14
=
1.57
6.28
r=
2×3.14
1.57
=
6.28
1.57
𝑟
=
0.25
متر
r=0.25 متر
پاسخ مسئله ۳ (الف): شعاع چرخ
0.25
0.25
متر است.
مسئله ۳ (ب): دور چرخ کوچکتر متصل با تسمه
صورت مسئله: دو چرخ به وسیله تسمهای به هم متصل اند. قطر چرخ کوچک
1.12
1.12
متر و شعاع چرخ بزرگ
17
17
متر است. اگر چرخ بزرگ در هر دقیقه
200
200
دور بزند، چرخ کوچک در هر دقیقه چند دور میزند؟
مرحله ۱: محاسبه محیطها
چرخ کوچک (۲): قطر (
𝑑
2
d
2
) =
1.12
متر
1.12 متر
.
محیط چرخ کوچک (
𝐶
2
C
2
):
𝐶
2
=
𝜋
𝑑
2
=
1.12
𝜋
متر
C
2
=πd
2
=1.12π متر
چرخ بزرگ (۱): شعاع (
𝑟
1
r
1
) =
17
متر
17 متر
. پس قطر (
𝑑
1
d
1
) =
34
متر
34 متر
.
محیط چرخ بزرگ (
𝐶
1
C
1
):
𝐶
1
=
2
𝜋
𝑟
1
=
2
𝜋
(
17
)
=
34
𝜋
متر
C
1
=2πr
1
=2π(17)=34π متر
مرحله ۲: محاسبه نسبت محیطها
نسبت محیطها
=
𝐶
1
𝐶
2
=
34
𝜋
1.12
𝜋
=
34
1.12
≈
30.357
نسبت محیطها=
C
2
C
1
=
1.12π
34π
=
1.12
34
≈30.357
مرحله ۳: محاسبه دور چرخ کوچک (
𝑁
2
N
2
)
تعداد دورها با محیط نسبت عکس دارند (
𝐶
1
𝑁
1
=
𝐶
2
𝑁
2
C
1
N
1
=C
2
N
2
).
𝑁
2
=
𝑁
1
×
𝐶
1
𝐶
2
=
200
×
34
1.12
N
2
=N
1
×
C
2
C
1
=200×
1.12
34
𝑁
2
=
200
×
30.35714...
N
2
=200×30.35714...
𝑁
2
≈
6071.43
دور در دقیقه
N
2
≈6071.43 دور در دقیقه
پاسخ مسئله ۳ (ب): چرخ کوچک در هر دقیقه تقریباً
6071.43
6071.43
دور میزند.
مسئله ۳ (ج): دور چرخ بزرگتر با نسبت شعاعها
صورت مسئله: دو چرخ به وسیله تسمهای به هم متصل شدهاند و شعاع چرخ کوچک
1
2500
2500
1
شعاع چرخ بزرگ است. اگر چرخ کوچک
200
200
دور بچرخد، چرخ بزرگ چند دور خواهد چرخید؟
مرحله ۱: تعریف نسبتها
فرض کنید
𝑟
1
r
1
شعاع چرخ بزرگ و
𝑟
2
r
2
شعاع چرخ کوچک باشد.
𝑟
2
=
1
2500
𝑟
1
⟹
𝑟
2
𝑟
1
=
1
2500
r
2
=
2500
1
r
1
⟹
r
1
r
2
=
2500
1
مرحله ۲: محاسبه تعداد دور چرخ بزرگ (
𝑁
1
N
1
)
تعداد دورها با شعاع نسبت عکس دارند:
𝑁
1
×
𝑟
1
=
𝑁
2
×
𝑟
2
N
1
×r
1
=N
2
×r
2
𝑁
1
=
𝑁
2
×
𝑟
2
𝑟
1
N
1
=N
2
×
r
1
r
2
با جایگذاری مقادیر داده شده:
𝑁
2
=
200
N
2
=200
دور
𝑁
1
=
200
×
1
2500
N
1
=200×
2500
1
𝑁
1
=
200
2500
=
2
25
=
0.08
دور
N
1
=
2500
200
=
25
2
=0.08 دور
پاسخ مسئله ۳ (ج): چرخ بزرگ
0.08
0.08
دور خواهد چرخید.
مسئله ۴: شعاع چرخ با استفاده از مسافت و دور (کسری)
صورت مسئله: یک چرخ مسافت
88
131
131
88
متر را با
30
30
دور طی میکند. شعاع چرخ را به دست آورید؟
مرحله ۱: محاسبه محیط چرخ (
𝐶
C
)
𝐶
=
مسافت طی شده
تعداد دور
=
88
131
30
C=
تعداد دور
مسافت طی شده
=
30
131
88
𝐶
=
88
131
×
30
=
88
3930
=
44
1965
متر
C=
131×30
88
=
3930
88
=
1965
44
متر
مرحله ۲: محاسبه شعاع چرخ (
𝑟
r
)
از آنجا که معمولاً در این نوع مسائل از
𝜋
=
22
7
π=
7
22
استفاده میشود، بررسی میکنیم که آیا این عدد با آن تقریب سازگار است یا خیر:
𝑟
=
𝐶
2
𝜋
=
44
1965
2
×
22
7
=
44
1965
44
7
r=
2π
C
=
2×
7
22
1965
44
=
7
44
1965
44
𝑟
=
44
1965
×
7
44
r=
1965
44
×
44
7
𝑟
=
7
1965
متر
r=
1965
7
متر
پاسخ مسئله ۴: شعاع چرخ
7
1965
1965
7
متر است (تقریباً
0.00356
0.00356
متر یا
0.356
0.356
سانتیمتر).
اگر هر یک از این مسائل نیاز به توضیح بیشتری داشت یا در تفسیر یکی از بخشهای سوال اشتباهی رخ داده است، لطفاً به من اطلاع دهید تا آن را اصلاح کنم.
