برای پاسخ به این سوال، ابتدا نیاز داریم تا فرمولهای مربوط به زاویههای داخلی و خارجی یک چندضلعی را بررسی کنیم.
زاویه داخلی یک nضلعی (چندضلعی با n ضلع) به صورت زیر محاسبه میشود:
\[
\text{زاویه داخلی} = \frac{(n-2) \times 180}{n}
\]
و زاویه خارجی هر چندضلعی برابر با:
\[
\text{زاویه خارجی} = 180 - \text{زاویه داخلی}
\]
بنابراین، زاویه خارجی به صورت زیر بدست میآید:
\[
\text{زاویه خارجی} = \frac{360}{n}
\]
حال برای اینکه معلوم کنیم در کدام n ضلعی زاویه داخلی از زاویه خارجی کوچکتر است، کافیست این دو زاویه را با هم مقایسه کنیم:
\[
\frac{(n-2) \times 180}{n} < \frac{360}{n}
\]
با سادهسازی این نابرابی، میتوانیم دو طرف را در n ضرب کنیم:
\[
(n-2) \times 180 < 360
\]
حال اگر 180 را تقسیم بر هر دو طرف نابرابری کنیم:
\[
n - 2 < 2
\]
با اضافه کردن 2 به هر دو طرف:
\[
n < 4
\]
بنابراین، n باید کمتر از 4 باشد.
از آنجایی که n باید یک عدد صحیح و بزرگتر یا مساوی 3 باشد (چندضلعی با حداقل سه ضلع)، نتیجه میگیریم که تنها n برابر با 3 (مثلث) میتواند این خصوصیت را داشته باشد.
در واقع، در مثلث، زاویه داخلی (به طور میانگین 60 درجه برای مثلث متساویالساقین) از زاویه خارجی (به طور میانگین 120 درجه) کوچکتر است. برای n=3 چنین موردی ممکن است، اما برای n=4 (مربعی که زاویه داخلی 90 درجه و زاویه خارجی 90 درجه دارد) و n بزرگتر از 4 این رابطه صادق نیست.
نتیجهگیری: در n=3 (مثلث) زاویه داخلی از زاویه خارجی کوچکتر است.