برای اثبات تساوی مثلث‌های \( \triangle ABM \) و \( \triangle ACM \)، از موارد زیر استفاده می‌کنیم:
1. **مدارک جهت تساوی ضلع‌ها**:
- چون \( \triangle ABC \) متساوی الساقین است و \( AM \) میانه است، داریم:
\[
BM = MC
\]
2. **زاویه‌های هم‌نهشت در دو مثلث**:
- چون \( AM \) میانه و عمود بر \( BC \) است (اصول مثلث متساوی‌الساقین)، زاویه‌های \( \angle AMB \) و \( \angle AMC \) قائمه و برابر هستند.
3. **ضلع مشترک**:
- ضلع \( AM \) در هر دو مثلث مشترک است.
بر اساس این مدارک:
- \( BM = MC \) (برابر بودن دو ضلع)
- \( \angle AMB = \angle AMC \) (برابر بودن زاویه‌ها)
- \( AM \) مشترک (ضلع مشترک)
از این سه مورد طبق حالت \( SAS \) (ضلع-زاویه-ضلع)، دو مثلث \( \triangle ABM \) و \( \triangle ACM \) هم‌نهشت یا متساوی‌اند.
بنابراین، ثابت کردیم که دو مثلث هم‌نهشت هستند.
