برای اثبات تساوی مثلث‌های \( \triangle ABM \) و \( \triangle ACM \)، از موارد زیر استفاده می‌کنیم: 1. **مدارک جهت تساوی ضلع‌ها**: - چون \( \triangle ABC \) متساوی الساقین است و \( AM \) میانه است، داریم: \[ BM = MC \] 2. **زاویه‌های هم‌نهشت در دو مثلث**: - چون \( AM \) میانه و عمود بر \( BC \) است (اصول مثلث متساوی‌الساقین)، زاویه‌های \( \angle AMB \) و \( \angle AMC \) قائمه و برابر هستند. 3. **ضلع مشترک**: - ضلع \( AM \) در هر دو مثلث مشترک است. بر اساس این مدارک: - \( BM = MC \) (برابر بودن دو ضلع) - \( \angle AMB = \angle AMC \) (برابر بودن زاویه‌ها) - \( AM \) مشترک (ضلع مشترک) از این سه مورد طبق حالت \( SAS \) (ضلع-زاویه-ضلع)، دو مثلث \( \triangle ABM \) و \( \triangle ACM \) هم‌نهشت یا متساوی‌اند. بنابراین، ثابت کردیم که دو مثلث هم‌نهشت هستند.