برای حل این سوال، ابتدا باید بفهمیم تعداد زیرمجموعههای یک مجموعه چگونه محاسبه میشود.
اگر یک مجموعه \( A \) دارای \( n \) عنصر باشد، تعداد زیرمجموعههای آن \( 2^n \) است.
حال اگر مجموعه \( A \) دارای \( a \) عضو باشد و مجموعه \( B \) دارای \( b \) عضو باشد، تعداد زیرمجموعههای مجموعه \( A \) برابر است با \( 2^a \) و تعداد زیرمجموعههای مجموعه \( A+B \) (که مجموع اعضای دو مجموعه است) برابر است با \( 2^{a+b} \).
طبق اطلاعات داده شده در سوال، تعداد زیرمجموعههای مجموعه \( A + B \) ۸ تا بیشتر از تعداد زیرمجموعههای مجموعه \( A \) است. بنابراین میتوانیم بنویسیم:
\[ 2^{a+b} = 2^a + 8 \]
برای سادهتر کردن این معادله، هر دو طرف را میتوانیم به صورت زیر بازنویسی کنیم:
\[ 2^{a+b} = 2^a + 8 \]
برای این که معادله را حل کنیم، نیاز داریم که از یک عدد برای \( a \) و \( b \) شروع کنیم.
بیایید \( a = 3 \) را امتحان کنیم:
اگر \( a = 3 \):
\[ 2^{3+b} = 2^3 + 8 \]
\[ 2^{3+b} = 8 + 8 = 16 \]
\[ 2^{3+b} = 16 \]
این رسانی برابر است با:
\[ 3+b = 4 \]
بنابراین:
\[ b = 1 \]
حال بیایید ببینیم که آیا مقادیر دیگر برای \( a \) میتوانند جواب دهند یا خیر. میتوانیم مقادیر بیشتری را تست کنیم، اما به نظر میرسد که در این حالت، \( a = 3 \) و \( b = 1 \) جواب مناسبی است.
حالا بیایید مقادیر دیگر را هم بررسی کنیم:
اگر \( a = 4 \):
\[ 2^{4+b} = 2^4 + 8 \]
\[ 2^{4+b} = 16 + 8 = 24 \]
که \( 2^{4+b} \) نمیتواند برابر با 24 باشد، و لذا این نتیجه نمیدهد.
پس تنها جواب صحیح برای \( a \) و \( b \) که مطابق این معادله باشد، \( a = 3 \) و \( b = 1 \) است.
پاسخ نهایی:
\( a = 3 \) و \( b = 1 \)
