برای حل این سوال، ابتدا باید مفهوم "تندی" (سرعت) و شرایط موجود در مسئله را مورد بررسی قرار دهیم.
1. **تحلیل موج و شرایط دادهشده:**
- در لحظه \( t_1 = 0 \) ثانیه، شکل موج رسم شده به صورت نمودار (الف) است.
- در لحظه \( t_2 = \frac{1}{8} s \)، شکل موج به صورت نمودار (ب) است.
- در مسئله گفته شده که بیشینه تندی هر ذره محیط انتشار موج در SI چقدر است.
2. **مفهوم بیشینه تندی:**
- تندی یا سرعت ذرات در یک موج مکانیکی وابسته به مشتق زمانی تابع موج است.
- بیشینه تندی یعنی جایی که این مشتق زمانی بیشترین مقدار خود را داشته باشد.
3. **محاسبه بیشینه تندی:**
اگر تابع موج را به صورت \[ y(x,t) = A \sin(kx - \omega t + \phi) \] فرض کنیم:
- \( A \) دامنه موج است (از نمودار میتوان دریافت که بیشینه مقدار جابهجایی 1.5 cm است، بنابراین \( A = 1.5 \) cm).
- \( \omega \) بسامد زاویهای است و میتوان از رابطه \(\omega = \frac{2\pi}{T}\) با توجه به دوره تناوب بهدست آورد.
- سرعت انتقال موج \( v = \frac{\lambda}{T} \) داده شده که \( \lambda \) طول موج و \( T \) دوره تناوب است.
بیشینه تندی از رابطه \(\omega A\) محاسبه میشود. باید ابتدا \(\omega\) را پیدا کنیم.
4. **با استفاده از تفاوت زمان:**
- موج در زمان \(\Delta t = \frac{1}{8} s\) تغییر حالت داده است.
- اگر \( T \) دوره تناوب باشد، این تفاوت زمانی برابر با یک چهارم دوره تناوب است \(\frac{T}{4}\).
- بنابراین \( T = 2 \times \frac{1}{8} = \frac{1}{4} s \).
با داشتن \( T \):
\[
\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi \times 4 = 8\pi \text{ rad/s}
\]
حالا میتوان بیشینه تندی را با جایگزینی \(\omega\) و \( A \):
\[
v_{\text{max}} = \omega A = 8\pi \times 1.5 = 12\pi \approx 37.7 \text{ cm/s}
\]
بنابراین، بیشینه تندی هر ذره در محیط انتشار موج برابر است با \( 37.7 \text{ cm/s} \).
