```markdown
**سوال ۱۷: چند عدد چهاررقمی وجود دارد که مجموع رقمهایش ۴ باشد؟**
برای پیدا کردن تعداد اعداد چهاررقمی که مجموع رقمهایشان ۴ باشد، به صورت زیر عمل میکنیم:
الف) فرض کنید عدد چهاررقمی به صورت ABCD است که A، B، C و D ارقام آن هستند.
ب) چون چهاررقمی است، باید A حداقل ۱ باشد.
شرط سوال:
\[ A + B + C + D = 4 \]
با فرض اینکه \( A = 1 \)، داریم:
\[ B + C + D = 3 \]
حال باید تعداد حالتهایی که این سه رقم جمعشان ۳ باشد را بیابیم:
۱. \( B = 0, C = 0, D = 3 \)
۲. \( B = 0, C = 1, D = 2 \)
۳. \( B = 0, C = 2, D = 1 \)
۴. \( B = 0, C = 3, D = 0 \)
۵. \( B = 1, C = 0, D = 2 \)
۶. \( B = 1, C = 1, D = 1 \)
۷. \( B = 1, C = 2, D = 0 \)
۸. \( B = 2, C = 0, D = 1 \)
۹. \( B = 2, C = 1, D = 0 \)
۱۰. \( B = 3, C = 0, D = 0 \)
بنابراین، ۱۰ عدد چهاررقمی وجود دارد که مجموع رقمهایشان ۴ است.
**پاسخ سوال ۱۷: ۱۰**
---
**سوال ۱۸: چند جفت عدد طبیعی دورقمی با اختلاف ۵۰ وجود دارند؟**
فرض کنید دو عدد طبیعی دورقمی \( x \) و \( y \) باشند به طوری که \( y - x = 50 \).
چون هر دو عدد دورقمی هستند، باید شرط زیر را داشته باشیم:
\[ 10 \leq x, y \leq 99 \]
با توجه به اختلاف، باید \( x \) را به گونهای انتخاب کنیم که \( x + 50 \) همچنان دو رقمی باقی بماند:
برای محاسبه، فرض میکنیم \( x \) به بیشینه مقدار دو رقمی نزدیک است:
\[ x = 49, \quad y = x + 50 = 99 \]
کمینه مقدار \( x \) به گونهای که \( y \) همچنان دو رقمی باشد:
\[ x = 10, \quad y = x + 50 = 60 \]
حال تعداد گزینه های \( x \) را میشماریم:
مقادیر ممکن برای \( x \) از ۱۰ تا ۴۹ هستند، یعنی ۴۰ عدد:
**پاسخ سوال ۱۸: ۴۰**
```
