نشان دهید که در هر متساوی الاثاقین فاصله هر نقطه دلخواه روی نیمساز زاویه راس از دو سر قاعده به یک اندازه است

برای نشان دادن اینکه فاصله هر نقطه دلخواه روی نیمساز زاویه رأس از دو سر قاعده به یک اندازه است، مراحل زیر را دنبال کنید: 1. فرض کنیم مثلث \(ABC\) متساوی‌الساقین باشد، به طوری که \(AB = AC\) و زاویه رأس \(A\) است. 2. نیمساز زاویه \(A\) را رسم می‌کنیم که نقطه \(M\) را روی ضلع \(BC\) قطع می‌کند. 3. نقطه دلخواه \(P\) را روی این نیمساز در نظر بگیرید. 4. باید نشان دهیم که \(PB = PC\). 5. از آنجایی که \(P\) روی نیمساز زاویه \(A\) است، زاویه‌های \(APB\) و \(APC\) برابرند (چون \(AP\) نیمساز است). 6. همچنین، چون مثلث \(ABC\) متساوی‌الساقین است و \(AB = AC\)، پس \(\angle BAP = \angle CAP\). 7. بنابراین، مثلث‌های \(APB\) و \(APC\) با داشتن دو زاویه و یک ضلع (که ضلع \(AP\) مشترک است) هم‌نهشت هستند. 8. از هم‌نهشتی این دو مثلث، نتیجه می‌گیریم که \(PB = PC\). بنابراین، ثابت کردیم که فاصله هر نقطه دلخواه روی نیمساز زاویه رأس از دو سر قاعده به یک اندازه است.