برای یافتن مقادیر \(m\) و \(n\) به گونهای که \(x=2\) ریشهی مضاعف معادلهی \(2x^2 + mx + n = 0\) باشد، باید از شرایط ریشههای مضاعف استفاده کنیم. معادله درجه دوم \(ax^2 + bx + c = 0\) اگر ریشههای مضاعف داشته باشد، شرط زیر برقرار است:
1. دیسکرiminant صفر باشد:
\[ b^2 - 4ac = 0 \]
2. مقدار ریشه در معادله صفر شود.
برای معادلهی شما: \(a = 2\)، \(b = m\)، \(c = n\) و \(x = 2\).
### مرحله اول: محاسبه دیسکرiminant
\[ m^2 - 4 \times 2 \times n = 0 \]
یعنی:
\[ m^2 = 8n \quad (1) \]
### مرحله دوم: صفر شدن ریشه \(x = 2\)
جایگزین کردن \(x = 2\) در معادله:
\[ 2(2)^2 + m(2) + n = 0 \]
\[ 8 + 2m + n = 0 \]
\[ 2m + n = -8 \quad (2) \]
### حل معادلات
از معادله (1) و (2) دو معادله زیر داریم:
1. \( m^2 = 8n \)
2. \( 2m + n = -8 \)
جایگزینی \(n\) از معادله (2) در (1):
\[ n = -2m - 8 \]
قرار دادن در معادله اول:
\[ m^2 = 8(-2m - 8) \]
\[ m^2 = -16m - 64 \]
\[ m^2 + 16m + 64 = 0 \]
این معادلهی درجه دوم را حل میکنیم:
فاکتورگیری یا استفاده از فرمول ریشهها:
\[ (m + 8)^2 = 0 \]
بنابراین:
\[ m = -8 \]
مقدار \(n\) را با استفاده از \(m\) پیدا میکنیم:
\[ n = -2(-8) - 8 \]
\[ n = 16 - 8 \]
\[ n = 8 \]
بنابراین، مقادیر \(m = -8\) و \(n = 8\) میباشند.
