برای حل این مسئله، باید تعادل فشار را بین مایعات مختلف برقرار کنیم. در اینجا سه لایه مایع داریم و میخواهیم چگالی \( \rho_2 \) را پیدا کنیم.
1. **تعادل فشار**: در حالت تعادل، فشار در نقاط مختلف در همان ارتفاع برابر است. مایعهای مختلف باید فشاری مساوی در مرزها ایجاد کنند.
2. **فشار در هر لایه**:
- لایه اول: چگالی \( \rho = \frac{g}{r} \) و ارتفاع \( \lambda \) داریم.
\[
P_1 = \rho \cdot g \cdot h_1 = \frac{g}{r} \cdot g \cdot \lambda
\]
- لایه دوم: چگالی \( \rho_2 \) و ارتفاع \( r \).
\[
P_2 = \rho_2 \cdot g \cdot r
\]
- لایه سوم: چگالی \( \rho_1 = \frac{g}{r} \) و ارتفاع \( \lambda \).
\[
P_3 = \rho_1 \cdot g \cdot \lambda = \frac{g}{r} \cdot g \cdot r
\]
3. **برابری فشارها**: فشار از لایه اول و دوم باید برابر با فشار از لایه سوم باشد.
\[
\frac{g}{r} \cdot g \cdot \lambda + \rho_2 \cdot g \cdot r = \frac{g}{r} \cdot g \cdot r
\]
4. **حل معادله**:
حال باید \( \rho_2 \) را از این معادله پیدا کنیم:
\[
\frac{g^2 \lambda}{r} + \rho_2 \cdot g \cdot r = \frac{g^2}{r}
\]
با توجه به سادهسازی و جابجایی، حاصل خواهد شد:
\[
\rho_2 = \frac{g^2}{g \cdot r} - \frac{g^2 \lambda}{g \cdot r^2}
\]
\[
\rho_2 = \frac{g}{r} - \frac{g \lambda}{r^2}
\]
بهصورت عددی برای این شرایط جایگذاری کنید و نتیجه نهایی چگالی \( \rho_2 \) محاسبه شود.
