راه حل رو توضیح بدید لطفا

برای حل این مسئله، ابتدا توجه کنید که \( OM \) و \( ON \) معادلات میانه‌های مثلث \( ABC \) هستند و نقاط \( M \) و \( N \) به ترتیب وسط‌ اضلاع \( AC \) و \( BC \) هستند. باید نسبت مساحت مثلث \( OMN \) به \( ABC \) را محاسبه کنیم. با توجه به خاصیت نقاط میانه: مساحت مثلث \( OMN \) نسبت به مثلث \( ABC \) به صورت زیر محاسبه می‌شود: - از آنجا که \( O \) و \( N \) میانه‌ی ضلع \( BC \) هستند، مساحت \( OMN \) نسبت به مساحتی که توسط خط \( BC \) ایجاد می‌شود، یک چهارم است (چرا که مثلث \( OMN \) کوچک‌تری از \( O \) درست روی میانه است). - حال اگر نسبت \( ON = 3 \) و \( OA = 2 \) باشد، نسبت طولی \( ON \) به \( OA \) برابر است با \( \frac{ON}{OA} = \frac{3}{2} \). اما توجه کنید \( OMN \) یک چهارم از کل مساحت بوده و \( \frac{\text{مساحت مثلث } OMN}{\text{مساحت مثلث } ABC} \) برابر برابر است با \( \frac{1}{4} \) در نیم، چون طول میانه‌ها یک سوم از ضلع‌ها هستند: بنابراین، نسبت مساحت برابر خواهد بود با \( \frac{1}{6} \). پاسخ نهایی: \( \frac{1}{6} \) (گزینه 3)