جواب بدید

برای به دست آوردن دامنه تابع \( f(x) = \sqrt{x^2 - 2|x| - 3} \)، باید عبارت زیر رادیکال غیرمنفی باشد: \[ x^2 - 2|x| - 3 \geq 0. \] تابع با توجه به \(|x|\) به دو حالت تقسیم می‌شود: 1. **برای \( x \geq 0 \):** \(|x| = x\). در این حالت، عبارت زیر رادیکال به صورت زیر است: \[ x^2 - 2x - 3 \geq 0. \] این معادله را به صورت \((x-3)(x+1) \geq 0\) فاکتورگیری می‌کنیم. ریشه‌های معادله \(x = 3\) و \(x = -1\) هستند. نمودار این تابع سهمی روبه بالا است و نواحی که تابع غیرمنفی است در بازه‌های \((-\infty, -1] \cup [3, +\infty)\) قرار می‌گیرد. از آنجا که \( x \geq 0 \) باید باشد، نتیجه می‌شود بازه‌ی \( [3, +\infty) \). 2. **برای \( x < 0 \):** \(|x| = -x\). در این حالت، عبارت به صورت زیر است: \[ x^2 + 2x - 3 \geq 0. \] این معادله را به صورت \((x+3)(x-1) \geq 0\) فاکتورگیری می‌کنیم. ریشه‌های معادله \(x = -3\) و \(x = 1\) هستند. نمودار این تابع سهمی روبه بالا است و نواحی که تابع غیرمنفی است در بازه‌های \((-\infty, -3] \cup ,1 +\infty)\) قرار می‌گیرد. از آنجا که \ \). ترکیب این دو حالت به ما دامنه کلی تابع را می‌دهد: \[ (-\infty, -3] \cup [3, +\infty). \] بنابراین دامنه تابع \( f(x) \) برابر است با: \[ (-\infty, -3] \cup [3, +\infty). \]