برای حل این سوال، باید بررسی کنیم که آیا هر کدام از روابط \( f \) تابع هستند یا خیر. تابع زمانی تعریف میشود که به ازای هر عنصر در دامنه (مولفه اول هر زوج مرتب)، تنها یک تصویر (مولفه دوم زوج مرتب) وجود داشته باشد.
**الف) بررسی تابع بودن رابطه اول:**
رابطه \( f = \{(4, 3), (a, b), (a^2 - r, a), (b-1, r), (-1, 4)\} \)
- برای بررسی تابع بودن، باید ببینیم آیا دو زوج مرتب با مولفه اول یکسان، مولفه دوم متفاوت دارند یا خیر.
- بررسی میکنیم:
- مولفه اول \( 4 \) با مولفه دوم \( 3 \)
- مولفه اول \( a \) با مولفه دوم \( b \)
- مولفه اولهای \( a^2 - r \)، \( b-1 \) و \(-1\) تکراری نیستند
بنابراین، هر مولفه اول یکتا است و تابع است.
**ب) بررسی تابع بودن رابطه دوم:**
رابطه \( f = \{(1, a + r), (-1, 2r), (a - b, r), (r, 5), (r, 4)\} \)
- بررسی میکنیم که هر مولفه اول چند تصویر دارد:
- مولفه اول \( r \) دوبار با دو تصویر \( 5 \) و \( 4 \) تکرار شده است.
بنابراین این رابطه تابع نیست.
پاسخ:
- قسمت الف) تابع است
- قسمت ب) تابع نیست
در نتیجه، گزینه درست برای تابع بودن قسمت الف است.
