برای نوشتن جمله عمومی دنباله \(0.9, 0.99, 0.999, \ldots\)، ابتدا الگوی دنباله را بررسی میکنیم.
به نظر میرسد که دنباله با 0.9 شروع شده و در هر مرحله یک 9 به آخر آن اضافه میشود. بنابراین برای جمله عمومی، میتوانیم به صورت زیر عمل کنیم:
جمله اول: \(a_1 = 0.9 = \frac{9}{10}\)
جمله دوم: \(a_2 = 0.99 = \frac{99}{100}\)
جمله سوم: \(a_3 = 0.999 = \frac{999}{1000}\)
الگوی کلی این است که برای \(n\)-مین جمله در دنباله، تعداد n عدد 9 در صورت کسر داریم و مخرج کسر عدد \(10^n\) است.
بنابراین جمله عمومی دنباله به این صورت است:
\[
a_n = \frac{10^n - 1}{10^n}
\]
این فرمول به ما امکان میدهد تا هر جملهای از دنباله را با قرار دادن عدد \(n\) مورد نظر به دست آوریم.
