برای سوال ۵:
با توجه به دادههای مسأله:
- ۱۸ نفر عضو تیم فوتبال هستند.
- ۲۰ نفر عضو تیم والیبال.
- ۷ نفر عضو هر دو تیم هستند.
- ۳ نفر از دانشآموزان عضو هیچ تیمی نیستند.
میخواهیم بدانیم کدام جمله نادرست است:
الف. ۲۴ نفر فقط عضو یک تیم هستند.
ب. ۲۷ نفر حداکثر عضو یک تیم هستند.
ج. ۱۱ نفر فقط عضو تیم فوتبالاند.
د. ۱۳ نفر عضو تیم فوتبال نیستند.
محاسبات:
1. تعداد افرادی که عضو هر دو تیم هستند: \( A \cap B = 7 \)
2. تعداد کل افراد: \( n = 18 + 20 - 7 + 3 = 34 \)
3. بنابراین برای گزینه \( \mathbf{الف}: n(A \cup B) = 34 - 3 = 31 \)
4. تعداد افراد فقط در فوتبال: \( 18 - 7 = 11 \)
5. تعداد افراد فقط در والیبال: \( 20 - 7 = 13 \)
حال محاسبه میکنیم:
- تعداد افراد فقط در یک تیم: \( 11 + 13 = 24 \) (پس گزاره الف درست است)
- افراد حداکثر در یک تیم: \( 34 \) نفر - ۷ نفر (در هر دو تیم) = ۲۷ نفر (گزاره ب درست است)
- ۱۱ نفر فقط عضو تیم فوتبالاند. (گزاره ج درست است)
- افراد غیر عضو فوتبال: کل 34 - 18 = ۱6 (گزاره د نادرست است)
پس پاسخ نادرست: گزینه د: ۱۳ نفر عضو تیم فوتبال نیستند.
سوال ۶:
الگوی خطی به صورت دنبالهای است که هر عبارت با جمع شدن یک مقدار ثابت به عبارت قبلی به دست میآید. به دنبال اختلاف بین جملات میگردیم:
الگوی جملات: \(3, 7, \ldots\)
میبینیم که فاصله ۴ واحد است. پس:
- جمله اول \(3\)
- جمله دوم \(3+4=7\)
- جمله سوم \(7+4=11\)
- جمله چهارم \(11+4=15\)
بنابراین جمله \(n\)ام به صورت \(a_n = 3 + (n-1) \cdot 4\) داده میشود.
نسبة جملة بیست و دویّم و جملة چهارم:
با استفاده از الگو:
- جمله بیست و دوم: \(3 + 4 \cdot 21 = 87\)
- جمله چهارم: \(3 + 4 \cdot 3 = 15\)
نسبت: \(\frac{87}{15}\) که ۱/۵ است. پس گزینه \(41\) درست خواهد بود.
پاسخ صحیح: گزینه \(41\)
