برای حل این مسئله، ابتدا باید ماتریس \( C \) را که به صورت \( C = 3A + 2B \) تعریف شده است، محاسبه کنیم و سپس از ویژگی قطری بودن آن استفاده کنیم.
### 1. محاسبه \( 3A \):
فرض کنید ماتریس \( A \) به صورت زیر است:
\[
A = \begin{bmatrix} m & -1 \\ m & -2 \end{bmatrix}
\]
پس \( 3A \) به صورت زیر خواهد بود:
\[
3A = 3 \times \begin{bmatrix} m & -1 \\ m & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3m & -3 \\ 3m & -6 \end{bmatrix}
\]
### 2. محاسبه \( 2B \):
ماتریس \( B \) به صورت زیر است:
\[
B = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}
\]
پس \( 2B \) به صورت زیر خواهد بود:
\[
2B = 2 \times \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -6 \\ 6 & 2 \end{bmatrix}
\]
### 3. محاسبه ماتریس \( C = 3A + 2B \):
\[
C = \begin{bmatrix} 3m & -3 \\ 3m & -6 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 & -6 \\ 6 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3m + 4 & -9 \\ 3m + 6 & -4 \end{bmatrix}
\]
### 4. شرط قطری بودن ماتریس \( C \):
قطری بودن ماتریس یعنی عناصر خارج از قطر اصلی صفر شوند:
از \( C \):
\[
\text{عنصر خارج قطر اصلی: } -9 = 0 \quad \text{و} \quad 3m + 6 = 0
\]
معادله \( 3m + 6 = 0 \) را حل کنیم:
\[
3m + 6 = 0 \implies 3m = -6 \implies m = -2
\]
### 5. محاسبهی مجموع درایههای قطر اصلی ماتریس \( C \):
وقتی \( m = -2 \):
\[
C = \begin{bmatrix} 3(-2) + 4 & 0 \\ 0 & -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 + 4 & 0 \\ 0 & -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -4 \end{bmatrix}
\]
مجموع درایههای قطر اصلی:
\[
-2 + (-4) = -6
\]
بنابراین، مجموع درایههای قطر اصلی ماتریس \( C \) برابر با \(-6\) است.
