برای حل این مسئله، باید از خواص لگاریتم‌ها استفاده کنیم.
با توجه به داده‌های سوال:
\( \log_{2} 3 = b \) و \( \log_{3} x = a \).
باید \( \log_{2} 100 \) را بر حسب \( a \) و \( b \) بنویسیم.
ابتدا، هدف این است که \( \log_{2} 100 \) را به صورت ترکیبی از لگاریتم‌های داده شده بیان کنیم. از خواص تغییر پایه و رابطه بین لگاریتم‌ها استفاده می‌کنیم.
رابطه لگاریتم تغییر پایه:
\[ \log_{b} c = \frac{\log_{a} c}{\log_{a} b} \]
\( \log_{2} 100 = \log_{2} (10^2) = 2 \log_{2} 10 \).
حال، باید لگاریتم 10 را پیدا کنیم. با توجه به روابط لگاریتمی و داده‌ها:
\( \log_{2} 10 = \frac{\log_{3} 10}{\log_{3} 2} \)
و داریم:
\( \log_{3} 2 = \frac{1}{\log_{2} 3} = \frac{1}{b} \).
به همین ترتیب، باید \( \log_{3} 10 \) را بر حسب \( a \) بنویسیم:
\( \log_{3} 10 = \log_{3} (x \cdot \frac{10}{x}) = a + \log_{3} \frac{10}{x} \).
و از طرفی:
\( \log_{3} \frac{10}{x} = \log_{3} 10 - a \).
بنابراین، \( \log_{2} 100 = 2 \cdot \frac{\log_{3} 10}{b} \).
این رابطه را در نهایت برای \( \log_{3} 10 \) جای‌گذاری کنید تا پاسخ نهایی بر حسب \( a \) و \( b \) به دست آید.
