عالی — چند مجموعهٔ «نمونه سؤال اثباتی» در سطوح مختلف میفرستم (آسان → متوسط → سخت). هر سؤال یک جملهٔ واضح دارد و برای هر کدام یک سرنخ / ایدهٔ حل میآورم. اگر خواستی برای هر کدام حل کامل بنویسم بگو کدومها را میخواهی.
نمونه سؤالها (اثباتی)
سطح آسان
ثابت کنید گنگ (irrational) است.
سرنخ: فرض مخالف و نوشتن به صورت کسر با اعداد صحیحِ اول به سهیم.
ثابت کنید تعداد اعداد اول نامتناهی است.
سرنخ: استدلال متناقضِ اقلیدسی (محاسبه ).
نشان دهید مجموع اولین عدد طبیعی برابر است با .
سرنخ: اثبات با استقرای ریاضی یا جفتسازی (Gauss trick).
اگر و اعداد صحیح باشند و بر بخشپذیر باشد، لزوماً بر بخشپذیر است؟ پاسخ را با دلیل بنویسید (مثال/ضدمثال).
سرنخ: به دنبال نمونههایی با مرکب یا تواندار باش.
سطح متوسط
ثابت کنید برای هر عدد صحیح ، بر بخشپذیر نیست اما بر بخشپذیر است یا نه؟ (بررسی قیود).
سرنخ: از خواص و قضیهٔ کوچکِ فردی استفاده کن.
اگر تابعی پیوسته باشد و ، نشان دهید یک ریشه در دارد.
سرنخ: قضیهٔ مقدار میانی (Intermediate Value Theorem). اگر خواستی، اثبات این قضیه را هم بده.
ثابت کنید اگر عدد اولیهٔ فرد باشد، گروه چرخهای (cyclic) است.
سرنخ: نگاه به ترتیب عناصر و استفاده از ساختار گروههای تبدیلپذیرِ حلقهٔ میدانِ متناهی.
برای ماتریسهای با ضرایب حقیقی، نشان دهید اگر ماتریس دارای دو ویژهمقدار متمایز حقیقی باشد، آنگاه قطرپذیر (diagonalizable) است.
سرنخ: از قضیهٔ بنیادین جبر خطی دربارهٔ فضای ویژهها استفاده کن؛ ویژهمقدار متمایز → بردارهای ویژه مستقل خطی.
سطح سختتر / چالش
(تحلیل) نشان دهید مجموعهٔ توانی در فضای کامل نیست.
سرنخ: وجود تابعی در که با چندجملهایها به صورت تقریبپذیر نباشد (اتصال به قضیهٔ Stone–Weierstrass یا فضای توانی روی بازه، اما دقت کن که Stone–Weierstrass مربوط به پیوستگی است).
(نظریه اعداد) اثبات کنید اگر و صحیح و مربع کامل باشد، چه نتایجی میتوان گرفت؟ (مثلاً شرایط روی و یا ساختن پارامترها).
سرنخ: ارتباط با نمایش اعداد به صورت مجموع دو مربع و قضایای مربوط به اعداد اولی که از نوع .
(جبر انتزاعی) نشان دهید هر گروه چپ-متناهی (left-cancellative) و متناهی، گروهی گروه abelian نیست لزوماً — یا مثال نقض/قضیهای بیاور.
سرنخ: به خاصیتِ cancellative و ساختار نیمگروهها فکر کن؛ مثالهای شبهگروهی و گروههای متناهی را بررسی کن.
(آنالیز حقیقی) ثابت کنید اگر دنبالهی توابع پیوسته به صورت همگن (uniform) به همگرا باشند، آن را پیوسته میکنند؛ و نشان دهید همگرایی نقطهای به تنهایی کافی نیست.
سرنخ: تعریف همگرایی یکنواخت، و یک ضدمثال برای همگرایی نقطهای (مثلاً دنبالهای از مثلثهای باریک که در نقطهٔ خاصی شیب میگیرد).
اگر میخواهی:
حل مرحلهبهمرحلهٔ هر کدام را بنویسم (کامل یا با توضیح مختصر)، بگو کدوم سؤالها را میخواهی حل کنم.
یا مجموعهٔ دیگری براساس موضوع خاص (جبر، آنالیز، ترکیبیات، نظریه اعداد، هندسه) لازم داری، موضوع را بگو تا نمونهٔ متمرکز بفرستم.
دوست داری از کدوم سطح شروع کنم؟ 😊
