لطفاً حل کنید

برای حل صحیح و ارائه پاسخ تشریحی به سوالات ریاضی هشتم ارائه‌شده در تصویر، به موارد زیر می‌پردازیم: ### 1. حاصل عبارات کسری: \[ \frac{4 \times 81}{7 \times 121} \] ابتدا عبارات محاسبه می‌شوند: - صورت: \( 4 \times 81 = 324 \) - مخرج: \( 7 \times 121 = 847 \) پس عبارت به صورت کسری زیر ساده می‌شود و با بررسی مقادیر می‌توان دید که صورت و مخرج هیچ عامل مشترکی برای ساده کردن ندارند. در نتیجه: \[ \frac{324}{847} \] ### 2. احتمال پرتاب سکه: الف) "همه حالات ممکن را به صورت درختی" بنویسید: - حالت‌های ممکن برای دو سکه: (شیر، شیر)، (شیر، خط)، (خط، شیر)، (خط، خط) ب) احتمال یک شیر و یک خط: - از ۴ حالت ممکن، ۲ حالت شامل "یک شیر و یک خط" است: (شیر، خط) و (خط، شیر). - بنابراین احتمال: \( \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) ### 3. اندازه‌ زاویه و کمان: با توجه به داده‌های ارائه‌شده در شکل اول: الف) زاویه \( \angle BAC \): می‌دانیم که مثلث‌های داخلی دایره یک مثلث متساوی‌الساقین را تشکیل می‌دهند. دایره در این مثلث‌ها به مرکز \( O \) است و زاویه \( \angle BAC \) برابر \( 60 \) درجه داده شده است. ب) کمان \( BAC \): زاویه مرکزی \( BAC \) نیز برابر \( 60 \) درجه است. از این رو کمان متناظر نیز به همان اندازه است. ### 4. زاویه‌ی مماس: با توجه به شکل دوم و داده‌ها: محاسبهٔ زاویه \( x \) و \( y \): - زاویه \( x \) به دلیل هم‌راستایی با زاویه \( 50 \) درجه داده شده، خود برابر \( 50 \) درجه است. - برای زاویه \( y \) از قانون اجتماع زوایا در یک ناحیه‌ دایره که توسط قطر دایره تشکیل شده، استفاده کنید. یعنی: \( y = 180 - (50 + 20) = 110 \) درجه این پاسخ‌ها را می‌توان برای راهنمایی بیشتر بررسی و ساده‌سازی کرد.