فعالیت: بیضی مقابل را در نظر بگیرید. اندازه پاره‌خط‌های $OA$، $OB$ و $OF$ را به‌ترتیب با $a$، $b$ و $c$ نمایش داده‌ایم. می‌دانیم که مجموع فواصل هر نقطه از بیضی، از دو کانون بیضی مقداری ثابت است. ۱) می‌خواهیم نشان دهیم قطر بزرگ بیضی، طولی برابر با همین مقدار ثابت دارد. در رسم بیضی، حالتی را در نظر بگیرید که نوک مداد روی نقطه $A$ قرار دارد. در این صورت: $AF + AF' = AF + (AF + FF') = 2AF + FF' = 2a$ (۱) به همین ترتیب فرض کنید نوک مداد روی نقطه $A'$ قرار دارد. در این صورت داریم: $A'F + A'F' = ... = 2a$ (۲) از مقایسه رابطه (۱) و (۲) و برابری سمت چپ دو رابطه داریم: $AF = ...$ پس: $AF + AF' = ... + AF' = 2a$ بنابراین: مجموع فواصل هر نقطه از بیضی، از دو کانون آن، مقدار ثابتی است که برابر است با طول قطر بزرگ بیضی. سؤال: با توجه به تساوی $AF = A'F'$ نشان دهید که مرکز بیضی، قطر بزرگ آن را نصف می‌کند و از آن نتیجه بگیرید طول قطر بزرگ بیضی برابر $2a$ است. [شکل: بیضی شامل نقاط $A$، $A'$، $B$، $B'$، $F$، $F'$ و مرکز $O$ که پاره‌خط‌های $OA=a$، $OB=b$ و $OF=c$ مشخص شده‌اند]

۲) حال قصد داریم رابطه بین $a$، $b$ و $c$ را پیدا کنیم. الف) نقطه $B$ مطابق شکل روی بیضی در نظر بگیرید. می‌دانیم این نقطه روی عمود منصف پاره‌خط $FF'$ است. (چرا؟) [شکل: بیضی شامل نقاط $A$، $A'$، $B$، $B'$، $F$، $F'$ و مرکز $O$ که پاره‌خط‌های $OA=a$، $OB=b$ و $OF=c$ مشخص شده‌اند]