برای حل این سوال، ابتدا باید صورت و مخرج کسر را به درستی ببینیم:
صورت کسر: \(3^5 \times 5^2\)
مخرج کسر: \(12^3 \times 27\)
ابتدا اعداد را به صورت حاصلضرب اعداد اول تجزیه میکنیم:
1. **\(12^3\):**
- 12 را به صورت \(2^2 \times 3\) مینویسیم، بنابراین \(12^3 = (2^2 \times 3)^3 = 2^6 \times 3^3\).
2. **\(27\):**
- 27 را به صورت \(3^3\) مینویسیم.
حالا مخرج کسر:
\[
12^3 \times 27 = 2^6 \times 3^3 \times 3^3 = 2^6 \times 3^6
\]
صورت کسر به صورت همان گونه، یعنی \(3^5 \times 5^2\) باقی میماند.
حالا کسر به صورت زیر ساده خواهد شد:
\[
\frac{3^5 \times 5^2}{2^6 \times 3^6}
\]
با سادهسازی:
- توانهای 3 را میتوانیم کم کنیم:
\[
\frac{5^2}{2^6 \times 3^{6-5}} = \frac{25}{2^6 \times 3^1} = \frac{25}{64 \times 3} = \frac{25}{192}
\]
بنابراین جواب نهایی کسر \(\frac{25}{192}\) خواهد بود.
