این سوال مربوط به ریاضی دهم و اثبات یک رابطه مثلثاتی است. مسئله اصلی اینجا اثبات رابطهای با استفاده از اتحادهای مثلثاتی پایه است.
رابطهای که در این تصویر آمده به صورت زیر است:
\[
\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha
\]
### اثبات مرحله به مرحله:
1. شروع میکنیم با استفاده از اتحادهای مثلثاتی:
\[
\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha
\]
2. اتحاد پایهای که داریم مربوط به مربع جمع است:
\[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
\]
3. حالا میخواهیم این رابطه را به دست آوریم:
\[
(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 = \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha + 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha
\]
4. از رابطه بالا و اتحاد پایه، مقدار \(1\) را داریم:
\[
1 = \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha + 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha
\]
5. برای رسیدن به رابطه مورد نظر، هر دو طرف معادله را جمع جبری معکوس کنیم:
\[
\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha
\]
بنابراین، رابطه مورد نظر اثبات شده است و نتیجه نهایی بدست میآید.
